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已知函数F(x)=13ax3-bx2+cx+d(a≠0)的图象过原点，f（x）=F′（x），g（x）=f′（x），f（1）=0，函数y=f（x）与y=g（x）的图象交于不同的两点A、B．（Ⅰ）若y=F

题目简介

已知函数F(x)=13ax3-bx2+cx+d(a≠0)的图象过原点，f（x）=F′（x），g（x）=f′（x），f（1）=0，函数y=f（x）与y=g（x）的图象交于不同的两点A、B．（Ⅰ）若y=F

题目详情

已知函数F(x)=
1
3
ax3-bx2+cx+d(a≠0)的图象过原点，f（x）=F′（x），g（x）=f′（x），f（1）=0，函数y=f（x）与y=g（x）的图象交于不同的两点A、B．
（Ⅰ）若y=F（x）在x=-1处取得极大值2，求函数y=F（x）的单调区间；
（Ⅱ）若使g（x）=0的x值满足x∈[-
1
2
，
1
2
]，求线段AB在x轴上的射影长的取值范围．
题型：解答题难度：中档来源：自贡一模

答案

∵F（x）的图象过原点，∴d=0．
又f（x）=F'（x）=ax2-2bx+c，f（1）=0，，∴a+c=2b．…①…（2分）
（Ⅰ）由y=F（x）在x=-1处取得极大值2知：f（-1）=a+2b+c=0，…②
F(-1)=-class="stub"1
3
a-b-c=2，…③…（4分）
由①②③得a=3，b=0，c=-3，
∴F（x）=x3-3x．…（5分）
由f（x）=3x2-3≥0，得x≥1或x≤-1；由f（x）=3x2-3≤0，得-1≤x≤1．
∴F（x）的单调递减区间为[-1，1]，单调递增区间为（-∞，-1]和[1，+∞）．…（7分）
（Ⅱ）f（x）=ax2-2bx+c=ax2-（a+c）x+c，，g（x）=2ax-2b=2ax-（a+c），
由
y=ax2-(a+c)x+c
y=2ax-(a+c)
，得ax2-（3a+c）x+a+2c=0．…（8分）
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1+x2=class="stub"3a+c
a
=3+class="stub"c
a
，x1x2=class="stub"a+2c
a
=1+2•class="stub"c
a
，
∴线段AB在x轴上的射影长m=|x1-x2|=
(x1+x2)2-4x1x2
=
(class="stub"c
a
-1)2+4
．…（9分）
由g(x)=0，得x=class="stub"1
2
(1+class="stub"c
a
)．由x∈[-class="stub"1
2
，class="stub"1
2
]得-2≤class="stub"c
a
≤0．…（（10分）
∴当class="stub"c
a
=-2时，m取最大值
13
；当class="stub"c
a
=0时，m取最小值
5
，
∴
5
≤m≤
13
．…（12分）

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