函数f(x)=x3+ax2+bx+c,曲线y=f(x)上以点P(1,f(1))为切点的切线方程为y=3x+1.(1)若y=f(x)在x=-2时有极值,求f(x)的表达式;(2)在(1)的条件下,求y=

题目简介

函数f(x)=x3+ax2+bx+c,曲线y=f(x)上以点P(1,f(1))为切点的切线方程为y=3x+1.(1)若y=f(x)在x=-2时有极值,求f(x)的表达式;(2)在(1)的条件下,求y=

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函数f(x)=x3+ax2+bx+c,曲线y=f(x)上以点P(1,f(1))为切点的切线方程为y=3x+1.
(1)若y=f(x)在x=-2时有极值,求f (x)的表达式;
(2)在(1)的条件下,求y=f(x)在[-3,1]上最大值.
题型:解答题难度:中档来源:攀枝花三模

答案

(1)由f(x)=x3+ax2+bx+c求导数得f'(x)=3x2+2ax+b
过y=f(x)上点P(1,f(1))的切线方程为:y-f(1)=f'(1)(x-1)即y-(a+b+c+1)=(3+2a+b)(x-1)
3+2a+b=3
a+b+c-2=1
2a+b=0(1)
a+b+c=3(2)

∵有y=f(x)在x=-2时有极值,故f′(-2)=0
∴-4a+b=-12…(3)
由(1)(2)(3)相联立解得a=2,b=-4,c=5
f(x)=x3+2x2-4x+5.
(2)f'(x)=3x2+2ax+b=3x2+4x-4=(3x-2)(x+2)
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f(x)极大=f(-2)=(-2)3+2(-2)2-4(-2)+5=13f(1)=13+2×1-4×1+5=4
∴f(x)在[-3,1]上最大值为13.

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