已知函数,其中.(1)是否存在实数,使得在处取极值?证明你的结论;(2)若在[-1,]上是增函数,求实数的取值范围.-高三数学

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已知函数,其中.(1)是否存在实数,使得在处取极值?证明你的结论;(2)若在[-1,]上是增函数,求实数的取值范围.-高三数学

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已知函数,其中.
(1)是否存在实数,使得处取极值?证明你的结论;
(2)若在[-1,]上是增函数,求实数的取值范围.
题型:解答题难度:中档来源:辽宁省期中题

答案

解:(1)f '(x) = ax2 - ax + 1  
假设存在实数a,使f (x)在x =处取极值,
f '() = -+ 1 = 0,
∴a = 4  
此时,f '(x) =
当x <时,f '(x) > 0;
<x<1时,f '(x) > 0.
∴x =不是f (x)的极值点,
故不存在实数a,使f (x)在x =处极值   
(2)依题意知:当x∈[-1,]时,f '(x) = ax2 - ax + 1≥0恒成立,
当a = 0时,f '(x) = 1>0成立;
当a>0时,f '(x) = a (x)2 + 1上递减,
则g (x)min = g () = 1≥0  
∴0<a≤4        
当a<0时,f '(x) = a (x)2 + 1上递增,
则 g (x)min = g (-1) = 2a + 1≥0  
∴0>a≥  
综上,≤a≤4为所求        

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