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已知函数,其中.(1)是否存在实数,使得在处取极值?证明你的结论;(2)若在[-1,]上是增函数,求实数的取值范围.-高三数学
题目简介
已知函数,其中.(1)是否存在实数,使得在处取极值?证明你的结论;(2)若在[-1,]上是增函数,求实数的取值范围.-高三数学
题目详情
已知函数
,其中
.
(1)是否存在实数
,使得
在
处取极值?证明你的结论;
(2)若
在[-1,
]上是增函数,求实数
的取值范围.
题型:解答题
难度:中档
来源:辽宁省期中题
答案
解:(1)
f
'(x) = ax2 - ax + 1
假设存在实数a,使
f
(x)在x =
处取极值,
则
f
'(
) = -
+ 1 = 0,
∴a = 4
此时,
f
'(x) =
当x <
时,
f
'(x) > 0;
当
<x<1时,
f
'(x) > 0.
∴x =
不是
f
(x)的极值点,
故不存在实数a,使
f
(x)在x =
处极值
(2)依题意知:当x∈[-1,
]时,
f
'(x) = ax2 - ax + 1≥0恒成立,
当a = 0时,
f
'(x) = 1>0成立;
当a>0时,
f
'(x) = a (x
)2 + 1
在
上递减,
则g (x)min = g (
) = 1
≥0
∴0<a≤4
当a<0时,
f
'(x) = a (x
)2 + 1
在
上递增,
则 g (x)min = g (-1) = 2a + 1≥0
∴0>a≥
综上,
≤a≤4为所求
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题目简介
已知函数,其中.(1)是否存在实数,使得在处取极值?证明你的结论;(2)若在[-1,]上是增函数,求实数的取值范围.-高三数学
题目详情
(1)是否存在实数
(2)若
答案
假设存在实数a,使f (x)在x =
则f '(
∴a = 4
此时,f '(x) =
当x <
当
∴x =
故不存在实数a,使f (x)在x =
(2)依题意知:当x∈[-1,
当a = 0时,f '(x) = 1>0成立;
当a>0时,f '(x) = a (x
则g (x)min = g (
∴0<a≤4
当a<0时,f '(x) = a (x
则 g (x)min = g (-1) = 2a + 1≥0
∴0>a≥
综上,