设a>0,b>0,若3是9a与27b的等比中项,则2a+3b的最小值是______.-高二数学

题目简介

设a>0,b>0,若3是9a与27b的等比中项,则2a+3b的最小值是______.-高二数学

题目详情

设a>0,b>0,若
3
是9a与27b的等比中项,则
2
a
+
3
b
的最小值是______.
题型:填空题难度:中档来源:不详

答案

∵a>0,b>0,若
3
是9a与27b的等比中项,
∴9a•27b=32a+3b=3,∴2a+3b=1,
class="stub"2
a
+class="stub"3
b
=(class="stub"2
a
+class="stub"3
b
)(2a+3b)=13+class="stub"6b
a
+class="stub"6a
b
≥13+2
class="stub"6b
a
•class="stub"6a
b
=25,
当且仅当class="stub"6b
a
=class="stub"6a
b
,即a=b时取等号,
class="stub"2
a
+class="stub"3
b
的最小值是25
故答案为:25

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