已知矩阵M=2142,向量β=.17..(1)求矩阵M的特征向量;(2)计算M50β.-数学

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已知矩阵M=2142,向量β=.17..(1)求矩阵M的特征向量;(2)计算M50β.-数学

题目详情

已知矩阵M=
2  1
4  2
,向量
β
=
.
1 
7 
.

(1)求矩阵M的特征向量;
(2)计算M50
β
题型:解答题难度:中档来源:不详

答案

(1)矩阵M的特征多项式为f(λ)=
.
λ-2-1
-4λ-2
.
=(λ-2)2-4=0
,…(3分)
所以λ1=0,λ2=4,设对应的特征向量为α1=
x1
y1
,α2=
x2
y2

由Mα1=λ1α1,Mα2=λ2α2,可得2x1+y1=0,2x2-y2=0,
所以矩阵M的一个特征向量为α1=
1
-2
,α2=
1
2
.…(7分)
(2)令β=mα1+nα2,则
1
7
=m
1
-2
+n
1
2
,解得m=-class="stub"5
4
n=class="stub"9
4
,…(9分)
所以M50β=M50(-class="stub"5
4
α1+class="stub"9
4
α2)

=-class="stub"5
4
(M50α1)+class="stub"9
4
(M50α2)

=-class="stub"5
4
(λ150α1)+class="stub"9
4
(λ250α2)

=class="stub"9
4
450
1
2
=
450•class="stub"9
4
450•class="stub"9
2
.      …(14分)

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