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当兔子和狐狸处于同一栖息地时，忽略其他因素，只考虑兔子数量和狐狸数量的相互影响，为了简便起见，不妨做如下假设：（1）由于自然繁殖，兔子数每年增长10%，狐狸数每年减少15-数学

题目简介

当兔子和狐狸处于同一栖息地时，忽略其他因素，只考虑兔子数量和狐狸数量的相互影响，为了简便起见，不妨做如下假设：（1）由于自然繁殖，兔子数每年增长10%，狐狸数每年减少15-数学

题目详情

当兔子和狐狸处于同一栖息地时，忽略其他因素，只考虑兔子数量和狐狸数量的相互影响，为了简便起见，不妨做如下假设：
（1）由于自然繁殖，兔子数每年增长10%，狐狸数每年减少15%；
（2）由于狐狸吃兔子，兔子数每年减少狐狸数的0.15倍，狐狸数每年增加兔子数的0.1倍；
（3）第n年时，兔子数量Rn用表示，狐狸数量用Fn表示；
（4）初始时刻（即第0年），兔子数量有R0=100只，狐狸数量有F0=30只．
请用所学知识解决如下问题：
（1）列出兔子与狐狸的生态模型；
（2）求出Rn、Fn关于n的关系式；
（3）讨论当n越来越大时，兔子与狐狸的数量是否能达到一个稳定的平衡状态，说明你的理由．
题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

（1）∵兔子数每年增长10%，狐狸数每年减少15%，兔子数每年减少狐狸数的0.15倍，狐狸数每年增加兔子数的0.1倍
∴
Rn=1.1Rn-1-0.15Fn-1
Fn=0.1Rn-1+0.85Fn-1
(n≥1)…4’
（2）设
αn
=
Rn
Fn
，M=
1.1
0.1
-0.15
0.85

∴
αn
=M
αn-1
=M(M
αn-2
)=…=Mn
α∞

又矩阵M的特征多项式f(λ)=
.
λ-1.1
-0.1
0.15
λ-0.85
.
=λ2-1.95λ+0.95=（λ-1）（λ-0.95）
令f（λ）=0得：λ1=1，λ2=0.95
特征值λ1=1对应的一个特征向量为
α1
=
3
2

特征值λ2=0.95对应的一个特征向量为
α2
=
1
1
…6’
且
α0
=
100
30
=70
3
2
-110
1
1
=70
α1
-110
α2

∴
αn
=Mnα0=70
λn1
α1
-110
λn2
α2
=70
3
2
-110•0.95n
1
1
=
210-110•0.95n
140-110•0.95n

∴
Rn=210-110•0.95n
Fn=140-110•0.95n
…14’
（3）当n越来越大时，0.95n越来越接近于0，Rn，Fn分别趋向于常量210，140．即随着时间的增加，兔子与狐狸的数量逐渐增加，当时间充分长后，兔子与狐狸的数量达到一个稳定的平衡状态．…2’

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