若ai，j表示n×n阶矩阵1111…12345…⋮358…⋮⋮⋮⋮⋮…⋮n…………an，n中第i行、第j列的元素，其中第1行的元素均为1，第1列的元素为1，2，3，…，n，且ai+1，j+1=ai+1

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若a_i，j表示n×n阶矩阵

1	1	1	1	…	1
2	3	4	5	…	⋮
3	5	8		…	⋮
⋮	⋮	⋮	⋮	…	⋮
n	…	…	…	…	an，n

中第i行、第j列的元素，其中第1行的元素均为1，第1列的元素为1，2，3，…，n，且a_i+1，j+1=a_i+1，j+a_i，j（i、j=1，2，3，…，n-1），则

lim

n→∞

a3，n

=______．

题型：填空题难度：中档来源：普陀区二模

答案

依题意，a_{3，1=3，a_{3，2=a_{3，1+a_{2，1=3+2=5，a_{3，3=a_{3，2+a_{2，2=5+3=8，a_{3，4=a_{3，3+a_{2，3=8+4=12，…
∴a_{3，2-a_{3，1=5-3=2，（1）
a_{3，3-a_{3，2=8-5=3，（2）
a_{3，4-a_{3，3=12-8=4，（3）
…
a_{3，n-a_{3，n-1=n，（n-1）
将这（n-1）个等式左右两端分别相加得：
a_{3，n-a_{3，1=2+3+…+（n-1）=(2+n)(n-1)
2=class="stub"1
2n^{2+class="stub"1
2n-1，
∴a_{3，n=class="stub"1
2n^{2+class="stub"1
2n-1+3=class="stub"1
2n^{2+class="stub"1
2n+2．
则lim
n→∞
a3，n
n2=lim
n→∞
class="stub"1
2
n2+class="stub"1
2
n+2
n2=class="stub"1
2．
故答案为：class="stub"1
2．}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}

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若ai，j表示n×n阶矩阵1111…12345…⋮358…⋮⋮⋮⋮⋮…⋮n…………an，n中第i行、第j列的元素，其中第1行的元素均为1，第1列的元素为1，2，3，…，n，且ai+1，j+1=ai+1

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