首页 > 设虚数z满足|2z+3|=3|.z+2|．（1）求证：|z|为定值．（2）是否存在实数k，使zk+kz为实数？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．-数学

设虚数z满足|2z+3|=3|.z+2|．（1）求证：|z|为定值．（2）是否存在实数k，使zk+kz为实数？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．-数学

题目简介

设虚数z满足|2z+3|=3|.z+2|．（1）求证：|z|为定值．（2）是否存在实数k，使zk+kz为实数？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．-数学

题目详情

设虚数z满足|2z+3|=
3
|
.
z
+2|．
（1）求证：|z|为定值．
（2）是否存在实数k，使
z
k
+
k
z
为实数？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．
题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

（1）依题意，设z=x+yi（x，y∈R，y≠0）…2′
代入|2z+3|=
3
|
.
z
+2|得|（2x+3）+2yi|=
3
|（x+2）-yi|，
整理得：x2+y2=3，即|z|=
3
…6′
（2）设存在实数k，使得class="stub"z
k
+class="stub"k
z
为实数，
则class="stub"z
k
+class="stub"k
z
=class="stub"x+yi
k
+class="stub"k
x+yi

=class="stub"x+yi
k
+
k(x-yi)
(x+yi)(x-yi)

=class="stub"x+yi
k
+
k(x-yi)
3

=（class="stub"x
k
+class="stub"kx
3
）+（class="stub"y
k
-class="stub"ky
3
）i∈R，
∴class="stub"y
k
-class="stub"ky
3
=0，
∵y≠0，
∴k=±
3
．
故存在实数k且k=±
3
，使class="stub"z
k
+class="stub"k
z
为实数…12′

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