已知z∈C，z+2i和z2-i都是实数．（1）求复数z；（2）若复数（z+ai）2在复平面上对应的点在第四象限，求实数a的取值范围．-数学

题目简介

已知z∈C，z+2i 和

2-i

都是实数．
（1）求复数z；
（2）若复数（z+ai）² 在复平面上对应的点在第四象限，求实数a 的取值范围．

题型：解答题难度：中档来源：不详

（1）设z=a+bi（a，b∈R），则z+2i=a+（b+2）i，
class="stub"z

2-i

=class="stub"a+bi

2-i

(a+bi)(2+i)

(2-i)(2+i)

=class="stub"2a-b

+class="stub"a+2b

i，
∵z+2i 和class="stub"z

2-i

都是实数，∴

b+2=0

class="stub"a+2b

，解得

a=4

b=-2

，∴z=4-2i．
（2）由（1）知z=4-2i，∴（z+ai）2=[4+（a-2）i]2=16-（a-2）2+8（a-2）i，
∵（z+ai）2 在复平面上对应的点在第四象限，∴

16-(a-2)2＞0

8(a-2)＜0

，
即

a2-4a-12＜0

a＜2

，∴

-2＜a＜6

a＜2

，∴-2＜a＜2，即实数a 的取值范围是（-2，2）．