正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,MN是它的内切球的一条弦(把球面上任意两点之间的线段称为球的弦),P为正方体表面上的动点,当弦MN最长时.PM•PN的最大值为______.-数学

题目简介

正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,MN是它的内切球的一条弦(把球面上任意两点之间的线段称为球的弦),P为正方体表面上的动点,当弦MN最长时.PM•PN的最大值为______.-数学

题目详情

正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,MN是它的内切球的一条弦(把球面上任意两点之间的线段称为球的弦),P为正方体表面上的动点,当弦MN最长时.
PM
PN
的最大值为______.
题型:填空题难度:偏易来源:不详

答案

设点O是此正方体的内切球的球心,半径R=1.
PM
PN
≤|
PM
| |
PN
|
,∴当点P,M,N三点共线时,
PM
PN
取得最大值.
此时
PM
PN
(
PO
-
MO
)•(
PO
+
ON
)
,而
MO
=
ON

PM
PN
PO
2
-R2
=
PO
2
-1

当且仅当点P为正方体的一个顶点时上式取得最大值,
(
PM
PN
)max
=(
2
3
2
)2-1
=2.
故答案为2.

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