首页 > 已知函数f(x)=x2+x-a(x≥a)x2-x+a(x＜a)，（1）当a=0时，判断函数的奇偶性，并加以证明；（2）当0＜a＜1，求函数h（x）=f（x）-x的零点；（3）当0＜a＜1时，探讨函数y

已知函数f(x)=x2+x-a(x≥a)x2-x+a(x＜a)，（1）当a=0时，判断函数的奇偶性，并加以证明；（2）当0＜a＜1，求函数h（x）=f（x）-x的零点；（3）当0＜a＜1时，探讨函数y

题目简介

已知函数f(x)=x2+x-a(x≥a)x2-x+a(x＜a)，（1）当a=0时，判断函数的奇偶性，并加以证明；（2）当0＜a＜1，求函数h（x）=f（x）-x的零点；（3）当0＜a＜1时，探讨函数y

题目详情

已知函数f(x)=
x2+x-a(x≥a)
x2-x+a(x＜a)
，
（1）当a=0时，判断函数的奇偶性，并加以证明；
（2）当0＜a＜1，求函数h（x）=f（x）-x的零点；
（3）当0＜a＜1时，探讨函数y=f（x）的单调性．
题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

（1）当x=0时，f（x）=0，
当x＞0时，-x＜0，则f（-x）=（-x）2-（-x）=x2+x=f（x），
当x＜0时，-x＞0，则f（-x）=（-x）2+（-x）=x2-x=f（x），
所以f（-x）=f（x），故f（x）为偶函数；
（2）当0＜a＜1时，
当x≥a时，方程f（x）-x=0即为x2-a=0，解得x=
a
，
当x＜a时，方程f（x）-x=0即为x2-2x+a=0，解得x=1-
1-a
，
综上所述，当0＜a＜1时，h（x）=f（x）-x的零点为
a
，1-
1-a
；
（3）当0＜a＜1时，
当x≥a时，f（x）=x2+x-a=(x+class="stub"1
2
)2-a-class="stub"1
4
，
由二次函数的大致图象可知：f（x）在[a，+∞）上是增函数，
当x＜a时，f（x）=(x-class="stub"1
2
)2+a-class="stub"1
4
，由二次函数的大致图象可知：
①a≥class="stub"1
2
时，f（x）在（-∞，class="stub"1
2
）上是减函数，在（class="stub"1
2
，a）上是增函数；
②当0＜a＜class="stub"1
2
时，由二次函数的大致图象可知：f（x）在（-∞，a）上是减函数，
综上所述，当x≥a时，f（x）在[a，+∞）上是增函数；当x＜a时，若a≥class="stub"1
2
，f（x）在（-∞，class="stub"1
2
）上是减函数，在（class="stub"1
2
，a）上是增函数；若0＜a＜class="stub"1
2
，f（x）在（-∞，a）上是减函数．

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