已知四棱锥(如图)底面是边长为2的正方形.侧棱底面,、分别为、的中点,于。(Ⅰ)求证:平面⊥平面;(Ⅱ)直线与平面所成角的正弦值为,求PA的长;(Ⅲ)在条件(Ⅱ)下,求二面角的余弦-高三数学

题目简介

已知四棱锥(如图)底面是边长为2的正方形.侧棱底面,、分别为、的中点,于。(Ⅰ)求证:平面⊥平面;(Ⅱ)直线与平面所成角的正弦值为,求PA的长;(Ⅲ)在条件(Ⅱ)下,求二面角的余弦-高三数学

题目详情

已知四棱锥(如图)底面是边长为2的正方形.侧棱底面分别为的中点,
(Ⅰ)求证:平面⊥平面
(Ⅱ)直线与平面所成角的正弦值为,求PA的长;
(Ⅲ)在条件(Ⅱ)下,求二面角的余弦值。
题型:解答题难度:中档来源:不详

答案

(1)证明见解析(2)2 (3)
(Ⅰ)证明:∵PA⊥底面ABCD,MN底面ABCD
∴MN⊥PA  又MN⊥AD  且PA∩AD=A
∴MN⊥平面PAD  ………………3分
MN平面PMN   ∴平面PMN⊥平面PAD  …………4分
(Ⅱ)∵BC⊥BA   BC⊥PA   PA∩BA="A  " ∴BC⊥平面PBA
∴∠BPC为直线PC与平面PBA所成的角 
…………7分
在Rt△PBC中,PC=BC/sin∠BPC=

  ………………10分
(Ⅲ)由(Ⅰ)MN⊥平面PAD知   PM⊥MN   MQ⊥MN
∴∠PMQ即为二面角P—MN—Q的平面角  …………12分

   …………14分

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