给出以下命题:(1)∃x∈R,使得sinx+cosx>1;(2)函数f(x)=sinxx在区间(0,π2)上是单调减函数;(3)“x>1”是“|x|>1”的充分不必要条件;(4)在△ABC中,“A>B

题目简介

给出以下命题:(1)∃x∈R,使得sinx+cosx>1;(2)函数f(x)=sinxx在区间(0,π2)上是单调减函数;(3)“x>1”是“|x|>1”的充分不必要条件;(4)在△ABC中,“A>B

题目详情

给出以下命题:
(1)∃x∈R,使得sinx+cosx>1;
(2)函数f(x)=
sinx
x
在区间(0,
π
2
)
上是单调减函数;
(3)“x>1”是“|x|>1”的充分不必要条件;
(4)在△ABC中,“A>B”是“sinA>sinB”的必要不充分条件.
其中是真命题的个数是(  )
A.1B.2C.3D.4
题型:单选题难度:偏易来源:不详

答案

当x=class="stub"π
4
时,sinx+cosx=
2
>1,故(1)∃x∈R,使得sinx+cosx>1正确;
f(x)=class="stub"sinx
x
,∴f′(x)=class="stub"x•cosx-sinx
x2
=class="stub"x-tanx
cosx•x2

当x∈(0,class="stub"π
2
)
时,∵cosx>0,x-tanx<0,x2>0,
∴f'(x)<0,故f(x)在区间(0,class="stub"π
2
)
上单调递减,故(2)正确.
当“x>1”时是“|x|>1”成立,但“|x|>1”时,“x>1或x<-1”,故“x>1”是“|x|>1”的充分不必要条件;
在△ABC中,“A>B”⇔“a>b”⇔“sinA•2R>sinB•2R”(其中R为三角形外接圆半径)⇔“sinA>sinB”,故A>B”是“sinA>sinB”的充要条件,故(4)错误
故选C

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