首页 > 设函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，-π2＜ϕ＜π2），给出以下四个论断：①它的图象关于直线x=π12对称；②它的周期为π；③它的图象关于点（π3，0）对称；④在区间[-π6，0]上是增函数．

设函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，-π2＜ϕ＜π2），给出以下四个论断：①它的图象关于直线x=π12对称；②它的周期为π；③它的图象关于点（π3，0）对称；④在区间[-π6，0]上是增函数．

题目简介

设函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，-π2＜ϕ＜π2），给出以下四个论断：①它的图象关于直线x=π12对称；②它的周期为π；③它的图象关于点（π3，0）对称；④在区间[-π6，0]上是增函数．

题目详情

设函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，-
π
2
＜ϕ＜
π
2
），给出以下四个论断：
①它的图象关于直线x=
π
12
对称；        
②它的周期为π；
③它的图象关于点（
π
3
，0）对称；      
④在区间[-
π
6
，0]上是增函数．
以其中两个论断作为条件，余下两个论断作为结论，写出你认为正确的两个命题：
（1）______； （2）______．
题型：填空题难度：中档来源：不详

答案

（1）：①③⇒②④．
由①得ω×class="stub"π
12
+∅=kπ+class="stub"π
2
，k∈z．  由③得ω class="stub"π
3
+∅=kπ，k∈z．
又∵ω＞0，-class="stub"π
2
＜ϕ＜class="stub"π
2
，故有ω=2，∅=class="stub"π
3
．
∴f(x)=sin(2x+class="stub"π
3
)，其周期为π．
令 2kπ-class="stub"π
2
≤2x+class="stub"π
3
≤2kπ+class="stub"π
2
，可得 kπ-class="stub"5π
12
≤x≤kπ+class="stub"π
12
．
故函数f（x）的增区间为[kπ-class="stub"5π
12
， kπ+class="stub"π
12
]．
∵[-class="stub"π
6
，0]⊆[-class="stub"5π
12
，class="stub"π
12
]，∴f（x）在区间[-class="stub"π
6
，0]上是增函数，
故可得 ①③⇒②④．
（2）：还可①②⇒③④．
由②它的周期为π，可得ω=2，故 f（x）=sin（2x+∅）．
由①得  2×class="stub"π
12
+∅=kπ+class="stub"π
2
，k∈z．再由 -class="stub"π
2
＜ϕ＜class="stub"π
2
可得φ=class="stub"π
3
，故函数f（x）=sin（2x+class="stub"π
3
）．
显然它的图象关于点（class="stub"π
3
，0）对称，由（1）可得 f（x）在区间[-class="stub"π
6
，0]上是增函数．
故可得 ①②⇒③④．
故答案为 （1）：①③⇒②④；  （2）：①②⇒③④．

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