首页 > 已知函数f（x）=a•4x-2x+1+a+3．（1）若a=0，解方程f（2x）=-5；（2）若a=1，求f（x）的单调区间；（3）若存在实数x0∈[-1，1]，使f（x0）=4，求实数a的取值范围．-

已知函数f（x）=a•4x-2x+1+a+3．（1）若a=0，解方程f（2x）=-5；（2）若a=1，求f（x）的单调区间；（3）若存在实数x0∈[-1，1]，使f（x0）=4，求实数a的取值范围．-

题目简介

已知函数f（x）=a•4x-2x+1+a+3．（1）若a=0，解方程f（2x）=-5；（2）若a=1，求f（x）的单调区间；（3）若存在实数x0∈[-1，1]，使f（x0）=4，求实数a的取值范围．-

题目详情

已知函数f（x）=a•4x-2x+1+a+3．
（1）若a=0，解方程f（2x）=-5；
（2）若a=1，求f（x）的单调区间；
（3）若存在实数x0∈[-1，1]，使f（x0）=4，求实数a的取值范围．
题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

（1）若a=0，由f（2x）=-5，即-22x+1+3=-5，
∴22x+1=8，∴22x+1=23，
∴2x+1=3
∴x=1（2分）
（2）若a=1，则f（x）=4x-2x+1+4，设x1，x2∈R，且x1＜x2，
f（x2）-f（x1）=4x2-2x2+1+4-(4x1-2x1+1+4)=(4x2-4x1)-2(2x2-2x1)=(2x2-2x1)(2x2+2x1-2)
∵2x2-2x1＞0
①当x1，x2∈[0，+∞）时，有2x2+2x1-2＞0，
∴(2x2-2x1)(2x2+2x1-2)＞0，
∴f（x2）＞f（x1），
∴f（x）在[0，+∞）上是增函数；
②当x1，x2∈（-∞，0]时，有2x2+2x1-2＜0，
∴(2x2-2x1)(2x2+2x1-2)＜0，
∴f（x2）＜f（x1），
∴f（x）在（-∞，0]上是减函数
∴f（x）的单调增区间是[0，+∞），单调减区间是（-∞，0]（7分）
（3）设2x=t，由x0∈[-1，1]，得t∈[class="stub"1
2
，2]，且f（x）=a•4x-2x+1+a+3=a•t2-2t+a+3
∴存在t∈[class="stub"1
2
，2]，使得a•t2-2t+a+3=4，即a•t2-2t+a-1=0
令g（t）=a•t2-2t+a-1，
若a=0，由f（x0）=4，无解．
若a≠0，则函数g（t）的对称轴是t=class="stub"1
a

由已知得方程g（t）=0在t∈[class="stub"1
2
，2]上有实数解
∴g(class="stub"1
2
)g(2)≤0或
a＞0
class="stub"1
2
≤class="stub"1
a
≤2
△≥0
g(class="stub"1
2
)≥0
g(2)≥0

∴(class="stub"5
4
a-2)(5a-5)≤0或
a＞0
class="stub"1
2
≤class="stub"1
a
≤2
1-
5
2
≤
a≥class="stub"8
5
a≥1
a≤
1+
5
2

∴1≤a≤class="stub"8
5
或class="stub"8
5
≤a≤
1+
5
2

∴实数a的取值范围为[1，
1+
5
2
]．

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