已知正方体ABCD-A1B1C1D1的中心为O,则下列各命题中的真命题有()①OA+OD与OB1+OC1是一对相反向量②OB-OC与OA1-OD1是一对相反向量③OA+OB+OC+OD与OA1+OB1

题目简介

已知正方体ABCD-A1B1C1D1的中心为O,则下列各命题中的真命题有()①OA+OD与OB1+OC1是一对相反向量②OB-OC与OA1-OD1是一对相反向量③OA+OB+OC+OD与OA1+OB1

题目详情

已知正方体ABCD-A1B1C1D1的中心为O,则下列各命题中的真命题有(  )
OA
+
OD
OB1
+
OC1
是一对相反向量
OB
-
OC
OA1
-
OD1
是一对相反向量
OA
+
OB
+
OC
+
OD
OA1
+
OB1
+
OC1
+
OD1
是一对相反向量
OA1
-
OA
OC
-
OC1
是一对相反向量.
A.1个B.2个C.3个D.4个
题型:单选题难度:偏易来源:不详

答案

∵设正方形的边长为2,以A点为原点建立空间直角坐标系,正方体ABCD-A1B1C1D1的中心为O,
则A(0,0,0),B(2,0,0),C(2,2,0),D(0,2,0),A1(0,0,2),B1(2,0,2),C1(2,2,2),D1(0,2,2)
∵O为中心,∴O(1,1,1)
OA
+
OD
=(-1,-1,-1)+(-1,1,-1)=(-2,0,-2),
OB1
+
OC1
=(1,-1,1)+(1,1,1)=(2,0,2)=-(-2,0,-2),∴①√;
OB
-
OC
=(1,-1,-1)-(1,1,-1)=(0,-2,0)=
OA1
-
OD1
=(-1,-1,1)-(-1,1,1)=(0,-2,0),∴②×;
OA
+
OB
+
OC
+
OD
=(-1,-1,-1)+(1,-1,-1)+(1,1,-1)+(-1,1,-1)=(0,0,-4)
OA1
+
OB1
+
OC1
+
OD1
=(-1,-1,1)+(1,-1,1)+(1,1,1)+(-1,1,1)=(0,0,4),∴③√;
OA1
-
OA
=(-1,-1,1)-(-1,-1,-1)=(0,0,2),
OC
-
OC1
=(1,1,-1)-(1,1,1)=(0,0,-2)
∴④√;
故选C

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