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已知曲线C：xy=1（1）将曲线C绕坐标原点逆时针旋转45°后，求得到的曲线C′的方程；（2）求曲线C的焦点坐标和渐近线方程．-数学

题目简介

已知曲线C：xy=1（1）将曲线C绕坐标原点逆时针旋转45°后，求得到的曲线C′的方程；（2）求曲线C的焦点坐标和渐近线方程．-数学

题目详情

已知曲线C：xy=1
（1）将曲线C绕坐标原点逆时针旋转45°后，求得到的曲线C′的方程；
（2）求曲线C的焦点坐标和渐近线方程．
题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

解  （1）由题设条件，M=
cos45°-sin45°
sin45°cos45°
=
2
2
-
2
2
2
2
2
2
，
TM：
x 
y 
→
x′ 
y′ 
=
2
2
-
2
2
2
2
2
2
x 
y 
=
2
2
x		-
2
2
2
x
2
+
2
2
，即有
x′=
2
2
x-
2
2
y
y′=
2
2
x+
2
2
y
，
解得
x=
2
2
(x′+y′)
y=
2
2
(y′-x′)
，代入曲线C的方程为y′2-x′2=2．
所以将曲线C绕坐标原点逆时针旋转45°后，得到的曲线是y2-x2=2．…（5分）
（2）由（1）知，只须把曲线y2-x2=2的焦点、渐近线绕坐标原点顺时针旋转45°后，即可得到曲线C的焦点坐标和渐近线方程．
曲线y2-x2=2的焦点坐标是（0，-2），（0，2），渐近线方程x±y=0，
变换矩阵N=
cos(-45°)-sin(-45°)
sin(-45°)cos(-45°)
=
2
2
2
2
-
2
2
2
2
，
2
2
2
2
-
2
2
2
2
0 
-2 
=
-
2
 
-
2
 
，
2
2
2
2
-
2
2
2
2
0 
2 
=
2
 
2
 
，
即曲线C的焦点坐标是（-
2
，-
2
），（
2
，
2
）．而把直线x±y=0要原点顺时针旋转45°恰为y轴与x轴，因此曲线C的渐近线方程为x=0和y=0．…（10分）

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