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已知A、B是△ABC的两个内角，且tanA、tanB是方程x2+mx+m+1=0的两个实根，求m的取值范围-数学

题目简介

已知A、B是△ABC的两个内角，且tanA、tanB是方程x2+mx+m+1=0的两个实根，求m的取值范围-数学

题目详情

已知A、B是△ABC的两个内角，且tanA、tanB是方程x2+mx+m+1=0的两个实根，求m的取值范围
题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

解法一：依题意有，tanA+tanB=-m，tanAtanB=m+1，
∴tan（A+B）=class="stub"tanA+tanB
1-tanAtanB
=class="stub"-m
1-(m++1)
=1
∵0＜A+B＜π，∴A+B=class="stub"π
4
从而0＜A＜class="stub"π
4
，0＜B＜class="stub"π
4
，
故tanA∈（0，1），tanB∈（0，1）
即方程x2+mx+m+1=0的两个实根均在（0，1）内
设f（x）=x2+mx+m+1，则函数f（x）与x轴有两个交点，且交点在（0，1）内；
又函数f（x）的图象是开口向上的抛物线，且对称轴方程为x=-class="stub"m
2
，
故其图象满足
f(-class="stub"m
2
)≤0
f(0)＞0
f(1)＞0
0＜-class="stub"m
2
＜1

即
-
m2
4
+m+1≤0
m+1＞0
2m+2＞0
-2＜m＜0

解得-1＜m≤2-2
2
，
故所求m的范围是(-1，2-
2
]
解法二：依题意有，tanA+tanB=-m，tanAtanB=m+1，
∴tan（A+B）=class="stub"tanA+tanB
1-tanAtanB
=class="stub"-m
1-(m++1)
=1
∵0＜A+B＜π，∴A+B=class="stub"π
4
从而0＜A＜class="stub"π
4
，0＜B＜class="stub"π
4
，
故tanA∈（0，1），tanB∈（0，1）
即方程x2+mx+m+1=0的两个实根均在（0，1）内
则x2+mx+m+1=0得-m（x+1）=x2+1
即-m=
x2+1
x+1
=
(x+1)2-2(x+1)+2
x+1

=(x+1)+class="stub"2
x+1
-2[x∈(0，1)]；
故所求m的范围是(-1，2-2
2
]

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