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平行六面体ABCD=A1B1C1D1中，AB=1，AD=2，AA1=3．∠BAD=90°，∠BAA1=∠DAA1=60°求AC1的长．-高二数学

题目简介

平行六面体ABCD=A1B1C1D1中，AB=1，AD=2，AA1=3．∠BAD=90°，∠BAA1=∠DAA1=60°求AC1的长．-高二数学

题目详情

平行六面体ABCD=A1B1C1D1中，AB=1，AD=2，AA1=3．∠BAD=90°，∠BAA1=∠DAA1=60°
求AC1的长．
题型：填空题难度：中档来源：不详

答案

由题意，如图，作A1O⊥底面于O，作OE垂直AB于E，OF垂直AD于F，连接A1F，A1E，
由于，∠BAA1=∠DAA1=60°，故有△A1FA≌△A1EA，即A1F=A1E
从而有△A1FO≌△A1EO，即有OF=OE，由作图知，O在角DAB的角平分线上，
又底面是矩形，故角DAO=角BAO=45°，
又AB=1，AD=2，AA1=3，∠BAA1=∠DAA1=60°，
∴A1F=A1E=
3
3
2
，AE=AF=class="stub"3
2
，于是有AO=
3
2
2
，
在直角三角形A1OA中，解得A1O=
3
2
2

在图中作C1H垂直底面于H，作HR垂直DC延长线与R，由几何体的性质知，HR=CR=class="stub"3
2
，A1O=C1H=
3
2
2

连接AH，得如图的直角三角形ASH，直角三角形AHC1，由已知及上求解得AS=class="stub"5
2
，SH=class="stub"7
2

∴AC12=AH2+C1H2=AS2+SH2+C1H2=class="stub"25
4
+class="stub"49
4
+class="stub"18
4
=class="stub"92
4
=23
∴AC1=
23

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