首页 > 如图，已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD是菱形；PA⊥平面ABCD，PA=AD=AC，点F为PC的中点．（Ⅰ）求证：PA∥平面BFD；（Ⅱ）求二面角C-BF-D的余弦值．-数学

如图，已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD是菱形；PA⊥平面ABCD，PA=AD=AC，点F为PC的中点．（Ⅰ）求证：PA∥平面BFD；（Ⅱ）求二面角C-BF-D的余弦值．-数学

题目简介

如图，已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD是菱形；PA⊥平面ABCD，PA=AD=AC，点F为PC的中点．（Ⅰ）求证：PA∥平面BFD；（Ⅱ）求二面角C-BF-D的余弦值．-数学

题目详情

如图，已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD是菱形；PA⊥平面ABCD，PA=AD=AC，点F为PC的中点．
（Ⅰ）求证：PA∥平面BFD；
（Ⅱ）求二面角C-BF-D的余弦值．360优课网
题型：解答题难度：中档来源：不详

答案


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（Ⅰ）证明：连结AC，BD与AC交于点O，连结OF．…（1分）
∵ABCD是菱形，∴O是AC的中点．…（2分）
∵点F为PC的中点，∴OF∥PA．…（3分）
∵OF⊂平面BFD，PA⊄平面BFD，∴PA∥平面BFD．…（6分）
（Ⅱ）如图，以点A为坐标原点，线段BC的垂直平分线所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，AP所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，令PA=AD=AC=1，
则A(0，0，0)，P(0，0，1)，C(
3
2
，class="stub"1
2
，0)，B(
3
2
，-class="stub"1
2
，0)，D(0，1，0)，F(
3
4
，class="stub"1
4
，class="stub"1
2
)．
∴
BC
=(0，1，0)，
BF
=(-
3
4
，class="stub"3
4
，class="stub"1
2
)．  …（8分）
设平面BCF的一个法向量为
n
=（x，y，z），
由
n
⊥
BC
，
n
⊥
BF
，得
y=0
-
3
4
x+class="stub"3
4
y+class="stub"1
2
z=0
，∴
y=0
z=
3
2
x
，
令x=1，则z=
3
2
，∴
n
=(1，0，
3
2
)．…（10分）
∵PA⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，
∴PA⊥AC．
∵OF∥PA，∴OF⊥AC．
∵ABCD是菱形，∴AC⊥BD．
∵OF∩BD=O，∴AC⊥平面BFD．
∴
AC
是平面BFD的一个法向量，
AC
=(
3
2
，class="stub"1
2
，0)．
∴cos〈
AC
，
n
＞=
AC
•
n
|
AC
|•|
n
|
=
3
2
1+class="stub"3
4
×1
=
21
7
，
∴二面角C-BF-D的余弦值是
21
7
．…（12分）

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