如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1,AC⊥BC,AC=BC=BB1,点D是BC的中点.(I)求证:A1C∥平面AB1D;(Ⅱ)判断在线段B1B上是否存在一点M,使得A1M⊥B1D?若存在,求出B1M

题目简介

如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1,AC⊥BC,AC=BC=BB1,点D是BC的中点.(I)求证:A1C∥平面AB1D;(Ⅱ)判断在线段B1B上是否存在一点M,使得A1M⊥B1D?若存在,求出B1M

题目详情

如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1,AC⊥BC,AC=BC=BB1,点D是BC的中点.
(I) 求证:A1C平面AB1D;
(Ⅱ)判断在线段B1B上是否存在一点M,使得A1M⊥B1D?若存在,求出
B1M
B1B
的值;若不存在,请说明理由.360优课网
题型:解答题难度:中档来源:不详

答案


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证明:(I)取B1C1的中点E,连接A1E,EC,则A1E
.
AD,EC
.
B1D,A1E∩EC=E,B1D∩AD=D,
∴平面A1EC平面AB1D,A1C⊂平面A1EC,
∴A1C平面AB1D;
(Ⅱ)直三棱柱ABC-A1B1C1,AC⊥BC,故可以C为坐标原点,CA为x轴,CB为y轴,CC1为z轴建立空间直角坐标系,不妨设AC=BC=BB1=1,点D是BC的中点,
则A1(1,0,1),D(0,class="stub"1
2
,0),B1(0,1,1),设M(0,1,h),
A1M
=(-1,1,h-1),
B1D
=(0,-class="stub"1
2
,-1),
∵A1M⊥B1D,
A1M
B1D
=-1×0+1×(-class="stub"1
2
)+(h-1)×1=0,
∴h=class="stub"1
2

∴M为所在线段中点,
B1M
B1B
=class="stub"1
2

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