首页 > 如图，四边形PDCE为矩形，四边形ABCD为梯形，平面PDCE⊥平面ABCD，∠BAD=∠ADC=90°，AB=AD=12CD=a，PD=2a．（1）若M为PA中点，求证：AC∥平面MDE；（2）求平

如图，四边形PDCE为矩形，四边形ABCD为梯形，平面PDCE⊥平面ABCD，∠BAD=∠ADC=90°，AB=AD=12CD=a，PD=2a．（1）若M为PA中点，求证：AC∥平面MDE；（2）求平

题目简介

如图，四边形PDCE为矩形，四边形ABCD为梯形，平面PDCE⊥平面ABCD，∠BAD=∠ADC=90°，AB=AD=12CD=a，PD=2a．（1）若M为PA中点，求证：AC∥平面MDE；（2）求平

题目详情

如图，四边形PDCE为矩形，四边形ABCD为梯形，平面PDCE⊥平面ABCD，∠BAD=∠ADC=90°，AB=AD=
1
2
CD=a，PD=
2
a．
（1）若M为PA中点，求证：AC∥平面MDE；
（2）求平面PAD与PBC所成锐二面角的大小．360优课网
题型：解答题难度：中档来源：茂名一模

答案


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（1）证明：连接PC，交DE与N，连接MN，
在△PAC中，∵M，N分别为两腰PA，PC的中点
∴MN∥AC，…（2分）
又AC⊄面MDE，MN⊂面MDE，
所以 AC∥平面MDE．…（4分）
（2）以D为空间坐标系的原点，分别以 DA，DC，DP所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
则P（0，0，
2
a），B（a，a，0），C（0，2a，0），
所以
PB
=(a，a，-
2
a)，
BC
=(-a，a，0)，…（6分）
设平面PAD的单位法向量为
n1
，则可取
n1
=(0，1，0)        …（7分）
设面PBC的法向量
n2
=(x，y，z)，
则有
n2
•
PB
=(x，y，z)•(a，a，-
2
a)=0
n2
•
BC
=(x，y，z)•(-a，a，0)=0

即：
x+y-
2
z=0
-x+y=0
，取z=1，
则x=
2
2
，y=
2
2
∴
n2
=(
2
2
，
2
2
，1)…（10分）
设平面PAD与平面PBC所成锐二面角的大小为θ，
∴cosθ=
|
n1
•
n2
|
|
n1
|•|
n2
|
=
2
2
1•
2
=class="stub"1
2
…（11分）
∴θ=60°，
所以平面PAD与平面PBC所成锐二面角的大小为60°…（12分）

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