如图,已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD是正方形,侧棱PD⊥底面ABCD,PD=DC,E是PC的中点.(1)证明:PA∥平面BDE;(2)求二面角B-DE-C的余弦值.-数学

题目简介

如图,已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD是正方形,侧棱PD⊥底面ABCD,PD=DC,E是PC的中点.(1)证明:PA∥平面BDE;(2)求二面角B-DE-C的余弦值.-数学

题目详情

如图,已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD是正方形,侧棱PD⊥底面ABCD,PD=DC,E是PC的中点.
(1)证明:PA平面BDE;
(2)求二面角B-DE-C的余弦值.360优课网
题型:解答题难度:中档来源:不详

答案


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(1)解法一:连接AC,设AC与BD交于O点,连接EO.
∵底面ABCD是正方形,∴O为AC的中点,又E为PC的中点,
∴OEPA,
∵OE⊂平面BDE,PA⊄平面BDE,
∴PA平面BDE.
解法二:以D为坐标原点,分别以DA,DC,DP所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系,设PD=DC=2,则A(2,0,0),P(0,0,2),E(0,11),B(2,2,0).
PA
=(2,0,-2),
DE
=(0,1,1),
DB
=(2,2,0)

n1
=(x,y,z)
是平面BDE的一个法向量,
则由
n1
DE
=0
n1
DB
=0
,得
y+z=0
2x+2y=0
,∴
n1
=(1,-1,1)

PA
n1
=2-2=0

PA
n1

又PA⊄平面BDE,∴PA平面BDE.
(2)由(1)知
n1
=(1,-1,1)
是平面BDE的一个法向量,
n2
=
DA
=(2,0,0)
是平面DEC的一个法向量.
设二面角B-DE-C的平面角为θ,
由题意可知θ=<
n1
n2

cosθ=cos<
n1
n2
>=
n1
n2
|
n1
|•|
n2
|
=class="stub"2
3
×2
=
3
3

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