首页 > 如图，在长方体ABCD一A1B1C1D1中，AA1=2，AD=3，E为CD中点，三棱锥A1-AB1E的体积是6．（1）设P是棱BB1的中点，证明：CP∥平面AEB1；（2）求AB的长；（3）求二面角B

如图，在长方体ABCD一A1B1C1D1中，AA1=2，AD=3，E为CD中点，三棱锥A1-AB1E的体积是6．（1）设P是棱BB1的中点，证明：CP∥平面AEB1；（2）求AB的长；（3）求二面角B

题目简介

如图，在长方体ABCD一A1B1C1D1中，AA1=2，AD=3，E为CD中点，三棱锥A1-AB1E的体积是6．（1）设P是棱BB1的中点，证明：CP∥平面AEB1；（2）求AB的长；（3）求二面角B

题目详情

如图，在长方体ABCD一A1B1C1D1中，AA1=2，AD=3，E为CD中点，三棱 锥A1-AB1E的体积是6．
（1）设P是棱BB1的中点，证明：CP∥平面AEB1；
（2）求AB的长；
（3）求二面角B-AB1-E的余弦值．360优课网
题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

（1）证明：取AB1的中点M，连结PM，ME．
则PM∥BA∥CE，PM=class="stub"1
2
AB=CE．
即四边形PCEM是平行四边形，所以PC∥EM．
又EM⊂平面AEB1，PC⊄平面AEB1．
∴CP∥平面AEB1；
（2）由题意VA1-AB1E=VE-AB1A1．
点E到平面AB1A1的距离是AD=3，S△AB1A1=class="stub"1
2
•AB•AA1=class="stub"1
2
AB•2=AB．
所以class="stub"1
3
•3•AB=6，即AB=6；

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（3）以A为坐标原点，分别以AB，AD，AA1所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系A-xyz．
则A（0，0，0），B1（6，0，2），E（3，3，0），
AB1
=(6，0，2)，
AE
=(3，3，0)．
设平面AB1E的法向量为
n
=(x，y，z)．
由
n
•
AB1
=0
n
•
AE
=0
，得
6x+2z=0
3x+3y=0
，取x=1，得y=-1，z=-3．
所以
n
=(1，-1，-3)．
由平面ABB1的一个法向量为
m
=(0，1，0)．
并设二面角B-AB1-E的大小为α，
则cosα=|cos＜
m
，
n
＞|=|class="stub"-1
12+(-1)2+32
•1
|=
11
11
．
所以二面角B-AB1-E的余弦值为
11
11
．

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