如图，四棱锥C-ABCD中，△ABC为正三角形，AE⊥平面ABC，BD⊥平面ABC，M为DC上一点，BD=BC=2AE=2。（Ⅰ）求证：AE∥平面BCD；（Ⅱ）当EM⊥BD时，求二面角M-AB-C的正
证明：（Ⅰ）∵AE⊥平面ABC，BD⊥平面ABC∴AE∥BD 而AE平面BCD，BD平面BCD∴AE∥平面BCD（Ⅱ）∵BD⊥平面ABC∴平面BCD⊥平面ABC在平面BCD中过点M作MN⊥BC，垂足为N则有MN⊥平面ABC，MN∥BD,∴且MN∥AE过N作NG⊥AB于G，连接MG，则MG⊥AB，所以∠MGN为二面角M-AB-C的一个平面角在四边形AEMN中∵∠EAN=∠ANM=∠NME=∴四边形AEMN为矩形 ∴MN=AE=1 ∴M为CD的中点，N为BC的中点在Rt△MNG中，MN=1，NG=BNsin∠ABC= ∴tan∠MGN=
题目简介
如图，四棱锥C-ABCD中，△ABC为正三角形，AE⊥平面ABC，BD⊥平面ABC，M为DC上一点，BD=BC=2AE=2。（Ⅰ）求证：AE∥平面BCD；（Ⅱ）当EM⊥BD时，求二面角M-AB-C的正
题目详情
（Ⅰ）求证：AE∥平面BCD；
（Ⅱ）当EM⊥BD时，求二面角M-AB-C的正切值。
答案
证明：（Ⅰ）∵AE⊥平面ABC，BD⊥平面ABC![]()
平面BCD，BD![]()
平面BCD![]()
且MN∥AE![]()
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∴AE∥BD 而AE
∴AE∥平面BCD
（Ⅱ）∵BD⊥平面ABC
∴平面BCD⊥平面ABC
在平面BCD中过点M作MN⊥BC，垂足为N
则有MN⊥平面ABC，MN∥BD,
∴
过N作NG⊥AB于G，连接MG，则MG⊥AB，所以∠MGN为二面角M-AB-C的一个平面角
在四边形AEMN中
∵∠EAN=∠ANM=∠NME=
∴四边形AEMN为矩形
∴MN=AE=1
∴M为CD的中点，N为BC的中点
在Rt△MNG中，MN=1，NG=BNsin∠ABC=
∴tan∠MGN=