如图1,在Rt△ABC中,∠C=90°,D,E分别为AC,AB的中点,点F为线段CD上的一点,将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置,使A1F⊥CD,如图2.(1)求证:DE∥平面A1CB;(2)求证

题目简介

如图1,在Rt△ABC中,∠C=90°,D,E分别为AC,AB的中点,点F为线段CD上的一点,将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置,使A1F⊥CD,如图2.(1)求证:DE∥平面A1CB;(2)求证

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如图1,在Rt△ABC中,∠C=90°,D,E分别为AC,AB的中点,点F为线段CD上的一点,将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置,使A1F⊥CD,如图2.
(1)求证:DE平面A1CB;
(2)求证:A1F⊥BE;
(3)线段A1B上是否存在点Q,使A1C⊥平面DEQ?说明理由.360优课网
题型:解答题难度:中档来源:北京

答案

(1)∵D,E分别为AC,AB的中点,
∴DEBC,又DE?平面A1CB,
∴DE平面A1CB,
(2)由已知得AC⊥BC且DEBC,
∴DE⊥AC,
∴DE⊥A1D,又DE⊥CD,
∴DE⊥平面A1DC,而A1F?平面A1DC,
∴DE⊥A1F,又A1F⊥CD,
∴A1F⊥平面BCDE,
∴A1F⊥BE.
(3)线段A1B上存在点Q,使A1C⊥平面DEQ.理由如下:如图,分别取A1C,A1B的中点P,Q,则PQBC.
∵DEBC,
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∴DEPQ.
∴平面DEQ即为平面DEP.由(Ⅱ)知DE⊥平面A1DC,
∴DE⊥A1C,
又∵P是等腰三角形DA1C底边A1C的中点,
∴A1C⊥DP,
∴A1C⊥平面DEP,从而A1C⊥平面DEQ,
故线段A1B上存在点Q,使A1C⊥平面DEQ

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