如图所示，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ACB=90°，AB=2，BC=1，AA1=3，D为棱CC1的中点．（I）证明：A1C⊥平面AB1C1；（Ⅱ）求三棱锥A-A1B1O的体积；（Ⅲ）在棱AB

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如图所示，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠ACB=90°，AB=2，BC=1，AA₁=

，D为棱CC₁的中点．
（I）证明：A₁C⊥平面AB₁C₁；
（Ⅱ）求三棱锥A-A₁B₁O的体积；
（Ⅲ）在棱AB上是否存在一点E，使DE∥平面AB₁C₁？证明你的结论． 360优课网

题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

证明：（ I）∵∠ACB=90°，
∴BC⊥AC
∵三棱柱ABC-A1B1C1为直三棱柱，
∴BC⊥CC1
∵AC∩CC1=C，AC，CC1⊂平面ACC1A1，
∴BC⊥平面ACC1A1
∵A1C⊂平面ACC1A1，
∴BC⊥A1C
∵BC∥B1C1，则B1C1⊥A1C
∵Rt△ABC中，AB=2，BC=1，
∴AC=

∵AA1=

，
∴四边形ACC1A1为正方形
∴A1C⊥AC1
∵B1C1∩AC1=C1，B1C1，AC1⊂平面AB1C1
∴A1C⊥平面AB1C1…（4分）
解（ II）∵S△AOA1=class="stub"1

×(

)2=class="stub"3

又B1C1为三棱锥B1-A1AO的高且B1C1=1
∴VA-A1B1O=VB1-A1AO=class="stub"1

×class="stub"3

×1=class="stub"1

…(8分)
证明：（ III）当点E为棱AB的中点时，DE∥平面AB1C1
证明如下：
如图取BB1的中点F，连EF，FD，DE
∵D，E，F分别为CC1，AB，BB1的中点；
∴EF∥AB1
∵AB1⊂平面AB1C1，EF⊄平面AB1C1
∴EF∥平面AB1C1
同理可证FD∥平面AB1C1
∵EF∩FD=F
∴平面EFD∥平面AB1C1
∵DE⊂平面EFD
∴DE∥AB1C1…．（12分）

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如图所示，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ACB=90°，AB=2，BC=1，AA1=3，D为棱CC1的中点．（I）证明：A1C⊥平面AB1C1；（Ⅱ）求三棱锥A-A1B1O的体积；（Ⅲ）在棱AB

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