如图,DC⊥平面ABC,EB∥DC,AC=BC=EB=2DC=2,∠ACB=120°,P,Q分别为AE,AB的中点.(Ⅰ)证明:PQ∥平面ACD;(Ⅱ)求AD与平面ABE所成角的正弦值.-数学

题目简介

如图,DC⊥平面ABC,EB∥DC,AC=BC=EB=2DC=2,∠ACB=120°,P,Q分别为AE,AB的中点.(Ⅰ)证明:PQ∥平面ACD;(Ⅱ)求AD与平面ABE所成角的正弦值.-数学

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如图,DC⊥平面ABC,EBDC,AC=BC=EB=2DC=2,∠ACB=120°,P,Q分别为AE,AB的中点.
(Ⅰ)证明:PQ平面ACD;
(Ⅱ)求AD与平面ABE所成角的正弦值.360优课网
题型:解答题难度:中档来源:不详

答案

(Ⅰ)证明:连接DP,CQ,在△ABE中,P、Q分别是AE,AB的中点,∴PQ
.
class="stub"1
2
BE
,又DC
.
class="stub"1
2
BE

PQ
.
DC
,好
又PQ⊄平面ACD,DC⊂平面ACD,
∴PQ平面ACD.
(Ⅱ)在△ABC中,AC=BC=2,AQ=BQ,∴CQ⊥AB.
而DC⊥平面ABC,EBDC,
∴EB⊥平面ABC.
而EB⊂平面ABE,
∴平面ABE⊥平面ABC,
∴CQ⊥平面ABE
由(Ⅰ)知四边形DCQP是平行四边形,∴DPCQ.
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∴DP⊥平面ABE,
∴直线AD在平面ABE内的射影是AP,
∴直线AD与平面ABE所成角是∠DAP.
在Rt△APD中,AD=
AC2+DC2
=
22+12
=
5

DP=CQ=2sin∠CAQ=2sin30°=1.
sin∠DAP=class="stub"DP
AD
=class="stub"1
5
=
5
5

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