如图,已知AD⊥平面ABC,CE⊥平面ABC,F为BC的中点,若AB=AC=AD=12CE.(Ⅰ)求证:AF∥平面BDE;(Ⅱ)求证:平面BDE⊥平面BCE.-数学

题目简介

如图,已知AD⊥平面ABC,CE⊥平面ABC,F为BC的中点,若AB=AC=AD=12CE.(Ⅰ)求证:AF∥平面BDE;(Ⅱ)求证:平面BDE⊥平面BCE.-数学

题目详情

如图,已知AD⊥平面ABC,CE⊥平面ABC,F为BC的中点,若AB=AC=AD=
1
2
CE

(Ⅰ)求证:AF平面BDE;
(Ⅱ)求证:平面BDE⊥平面BCE.360优课网
题型:解答题难度:中档来源:东城区一模

答案

证明:(Ⅰ)取BE的中点G,连接GF,GD.
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∵F是BC的中点,
则GF为△BCE的中位线.
∴GFEC,GF=class="stub"1
2
CE

∵AD⊥平面ABC,CE⊥平面ABC,
∴GFECAD.
又∵AD=class="stub"1
2
CE

∴GF=AD.
∴四边形GFAD为平行四边形.
∴AFDG.
∵DG?平面BDE,AF?平面BDE,
∴AF平面BDE.
(Ⅱ)∵AB=AC,F为BC的中点,
∴AF⊥BC.
∵ECGF,EC⊥平面ABC,∴GF⊥平面ABC.
又AF?平面ABC,
∴GF⊥AF.
∵GF∩BC=F,
∴AF⊥平面BCE.
∵AFDG,
∴DG⊥平面BCE.
又DG?平面BDE,
∴平面BDE⊥平面BCE.

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