如图,已知PA⊥正方形ABCD所在平面,E、F分别是AB,PC的中点,∠PDA=45°.(1)求证:EF∥面PAD.(2)求证:面PCE⊥面PCD.-数学

题目简介

如图,已知PA⊥正方形ABCD所在平面,E、F分别是AB,PC的中点,∠PDA=45°.(1)求证:EF∥面PAD.(2)求证:面PCE⊥面PCD.-数学

题目详情

如图,已知PA⊥正方形ABCD所在平面,E、F分别是AB,PC的中点,∠PDA=45°.(1)求证:EF面PAD.
(2)求证:面PCE⊥面PCD.360优课网
题型:解答题难度:中档来源:不详

答案

(1)取PD中点为G,连FG、AG,∵F,G分别为中点,∴FGCD,且 FG=class="stub"1
2
CD.AECD,且 AE=class="stub"1
2
CD,
即四边形EFGA为平行四边形,∴EFAG,又EF?面PAD,AG?面PAD,∴EF面PAD.
(2)PA⊥面ABCD∴PA⊥AD,PA⊥CD∴Rt△PAD中,∠PDA=45°∴PA=AD,AG⊥PD,又CD⊥AD,CD⊥PA,
且PA∩AD=A,∴CD⊥面PAD,∴CD⊥AG,又PD∩CD=D,∴AG⊥面PCD,
由(1)知EFAG∴EF⊥面PCD,又EF?面PCE,∴面PCE⊥面PCD.

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