在如图所示的四棱锥中,底面ABCD是直角梯形,AD∥BC,∠BCD=90°,BC=DC=PD=2AD,PD⊥底面ABCD,点E是PB的中点.(I)证明:BC⊥PC;(Ⅱ)证明:AE∥平面PDC;(Ⅱ)

题目简介

在如图所示的四棱锥中,底面ABCD是直角梯形,AD∥BC,∠BCD=90°,BC=DC=PD=2AD,PD⊥底面ABCD,点E是PB的中点.(I)证明:BC⊥PC;(Ⅱ)证明:AE∥平面PDC;(Ⅱ)

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在如图所示的四棱锥中,底面ABCD是直角梯形,ADBC,∠BCD=90°,BC=DC=PD=2AD,PD⊥底面ABCD,点E是PB的中点.
(I)证明:BC⊥PC;
(Ⅱ)证明:AE平面PDC;
(Ⅱ)证明:平面PAB⊥平面PBC.360优课网
题型:解答题难度:中档来源:不详

答案


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证明:(I)∵PD⊥底面ABCD,∴BC⊥PD.
∵∠BCD=90°,∴BC⊥CD,∴BC⊥平面PDC,
∵PC⊂平面PDC,∴BC⊥PC(2分)
(II)取PC的中点F,连结DF,EF.
∵EFBC,ADBC
,∴EFAD,∴EF=AD
∴四边形AEFD是平行四边形.
∴AEDF.
又DF⊂平面PDC,AE⊄平面PDC,
∴AE平面PDC.(5分)
(III)∵BC⊥平面PDC,DF⊂平面PDC,∴BC⊥DF
又∵PD=DC,F是PC的中点,∴DF⊥PC,∴DF⊥平面PBC
又∵DFAE,∴AE⊥平面PBC
又∵AE⊂平面PAB,∴平面PAB⊥平面PBC(7分)

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