如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=AC=5，D，E分别为BC，BB1的中点，四边形B1BCC1是边长为6的正方形，（Ⅰ）求证：A1B∥平面AC1D；（Ⅱ）求证：CE⊥平面AC1D；（Ⅲ）求

题目简介

如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=AC=5，D，E分别为BC，BB₁的中点，四边形B₁BCC₁是边长为6的正方形，
（Ⅰ）求证：A₁B∥平面AC₁D；
（Ⅱ）求证：CE⊥平面AC₁D；
（Ⅲ）求二面角C-AC₁-D的余弦值．

题型：解答题难度：中档来源：北京模拟题

（Ⅰ）证明：连结A1C，与AC1交于O点，连结OD，因为O，D分别为AC1和BC的中点，所以OD∥A1B，又平面，平面，所以∥平面．
（Ⅱ）证明：在直三棱柱ABC-A1B1C1中，平面ABC，又平面ABC，所以，因为AB=AC，D为BC中点，所以AD⊥BC，又，所以AD⊥平面，又平面，所以AD⊥CE，因为四边形为正方形，D，E分别为BC，BB1的中点，所以Rt△CBE≌Rt△C1CD，，所以，所以CE，又，所以CE⊥平面．
（Ⅲ）解：如图，以B1C1的中点G为原点，建立空间直角坐标系，则，由（Ⅱ）知CE⊥平面AC1D，所以为平面AC1D的一个法向量．设为平面ACC1的一个法向量，，由可得，令x=1，则，所以，从而，因为二面角为锐角，所以二面角的余弦值为．