首页 > 如图所示，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=BC=BB1，D为AC的中点．（I）求证：B1C∥平面A1BD；（Ⅱ）若AC1⊥平面A1BD，求证：B1C1⊥平面ABB1A1；（Ⅲ）在（II）的条件

如图所示，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=BC=BB1，D为AC的中点．（I）求证：B1C∥平面A1BD；（Ⅱ）若AC1⊥平面A1BD，求证：B1C1⊥平面ABB1A1；（Ⅲ）在（II）的条件

题目简介

如图所示，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=BC=BB1，D为AC的中点．（I）求证：B1C∥平面A1BD；（Ⅱ）若AC1⊥平面A1BD，求证：B1C1⊥平面ABB1A1；（Ⅲ）在（II）的条件

题目详情

如图所示，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=BC=BB1，D为AC的中点．
（I）求证：B1C∥平面A1BD；
（Ⅱ）若AC1⊥平面A1BD，求证：B1C1⊥平面ABB1A1；
（Ⅲ）在（II）的条件下，求二面角B-A1C1-D的大小．360优课网
题型：解答题难度：中档来源：不详

答案


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（I）证明：连结AB1交A1B于E，连ED．
∵ABC-A1B1C1是三棱柱中，且AB=BB1，
∴侧面ABB1A是一正方形．
∴E是AB1的中点，又已知D为AC的中点．
∴在△AB1C中，ED是中位线．
∴B1C∥ED．∴B1C∥平面A1BD．…（4分）
（II）证明：∵AC1⊥平面ABD，∴AC1⊥A1B，
又∵侧面ABB1A是一正方形，∴A1B⊥AB1．
∴A1B⊥平面AB1C1．∴A1B⊥B1C1．
又∵ABC-A1B1C1是直三棱柱，∴BB1⊥B1C1．
∴B1C1⊥平面ABB1A1．…（8分）
（III）由上问知B1C1⊥平面ABB1A1．∴BC⊥平面ABB1A1．∴BC⊥AB．
以BA、BC、BB1分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系．
不妨设AB=BC=BB1=1，则显然B、D、A1、C1各点的坐标分别是
B（0，0，0），D（class="stub"1
2
，class="stub"1
2
，0），A1（1，0，1），C1（0，1，1）．
∴
BA1
=(1，0，1)，
BC1
=(0，1，1)，
BD
=(class="stub"1
2
，class="stub"1
2
，0).
显然，
BD
就是平面A1C1D的法向量.
设平面BA1C1的法向量为
n
=(x，y，z)，则
n
•
BA1
=0，
n
•
BC1
=0.
∴(x，y，z)•(1，0，1)=0，(x，y，z)•(0，1，1)=0.
∴x=y=-z．令x=1，则
n
=(1，1，-1).
设
n
与
BD
所成的角为θ，则cosθ=
n
•
BD
|
n
||
BD
|
=…=
6
3
.

由图形可知二面角B-A1C1-D的平面角为锐角，
∴二面角B-A1C1-D的大小为arccos
6
3
．…（12分）

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