已知复数z1满足：|z1|=1+3i-z1．复数z2满足：z2•（1-i）+（3-2i）=4+i．（1）求复数z1，z2；（2）在复平面内，O为坐标原点，记复数z1，z2对应的点分别为A，B．求△OA

题目简介

已知复数z₁满足：|z₁|=1+3i-z₁．复数z₂满足：z₂•（1-i）+（3-2i）=4+i．
（1）求复数z₁，z₂；
（2）在复平面内，O为坐标原点，记复数z₁，z₂对应的点分别为A，B．求△OAB的面积．

题型：解答题难度：中档来源：不详

（1）设z1=x+yi（x，y∈R），
由|z1|=1+3i-z1，得

x2+y2

=1+3i-(x+yi)=1-x+（3-y）i，
∴

1-x=

x2+y2

3-y=0

，解得

x=-4

y=3

．
∴z1=-4+3i．
而z2•（1-i）=1+3i，
∴z2=class="stub"1+3i

1-i

(1+3i)(1+i)

(1-i)(1+i)

=class="stub"-2+4i

=-1+2i，
（2）由（1）知，

=(-4，3)，

=(-1，2)，∴|

OA|

(-4)2+32

=5，|

(-1)2+22

．
由

•

| |

|cos∠AOB，得（-4）×（-1）+3×2=5

cos∠AOB，
解得cos∠AOB=class="stub"2

，∴sin∠AOB=class="stub"1

．
∴△OAB的面积S=class="stub"1

×5×

×class="stub"1

=class="stub"5

．