已知(1+23x)n的展开式中,某一项的系数是它前一项系数的2倍,而又等于它后一项系数的56,(Ⅰ)求展开后所有项系数之和及所有项的二项式系数之和;(Ⅱ)求展开式中的有理项.-数学

题目简介

已知(1+23x)n的展开式中,某一项的系数是它前一项系数的2倍,而又等于它后一项系数的56,(Ⅰ)求展开后所有项系数之和及所有项的二项式系数之和;(Ⅱ)求展开式中的有理项.-数学

题目详情

已知(1+2
3x
)n
的展开式中,某一项的系数是它前一项系数的2倍,而又等于它后一项系数的
5
6

(Ⅰ)求展开后所有项系数之和及所有项的二项式系数之和;
(Ⅱ)求展开式中的有理项.
题型:解答题难度:中档来源:不详

答案

(Ⅰ)由题意可得 Cnr2r=2 Cnr-12r-1,且 Cnr2r=class="stub"5
6
Cr+1n
2r+1

解得 n=7,r=4.  故展开后所有项系数之和为(1+2)7=37,所有项的二项式系数之和为 2n=27.
(Ⅱ)展开式中的通项  Tk+1=C7K•2K•xclass="stub"k
3
,k∈z,故当 k=0,3,6时的项为有理项,
故有理项为第一项  T1=1,第四项 T4=C73•8x=280x,第七项  T7=C76•26x2=448x2.

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