首页 > 已知f（x）是定义在[-1，1]上的奇函数，且f（1）=1，若m，n∈[-1，1]，m+n≠0时，有f(m)+f(n)m+n＞0．（1）解不等式f(x+12)＜f(1-x)；（2）若f（x）≤t2-2

已知f（x）是定义在[-1，1]上的奇函数，且f（1）=1，若m，n∈[-1，1]，m+n≠0时，有f(m)+f(n)m+n＞0．（1）解不等式f(x+12)＜f(1-x)；（2）若f（x）≤t2-2

题目简介

已知f（x）是定义在[-1，1]上的奇函数，且f（1）=1，若m，n∈[-1，1]，m+n≠0时，有f(m)+f(n)m+n＞0．（1）解不等式f(x+12)＜f(1-x)；（2）若f（x）≤t2-2

题目详情

已知f（x）是定义在[-1，1]上的奇函数，且f（1）=1，若m，n∈[-1，1]，m+n≠0时，有
f(m)+f(n)
m+n
＞0．
（1）解不等式f(x+
1
2
)＜f(1-x)；
（2）若f（x）≤t2-2at+1对所有x∈[-1，1]，a∈[-1，1]恒成立，求实数t的取值范围．
题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

（1）任取x1，x2∈[-1，1]且x1＜x2，则f(x2)-f(x1)=f(x2)+f(-x1)=
f(x2)+f(-x1)
x2+(-x1)
•(x2-x1)＞0
∴f（x2）＞f（x1），∴f（x）为增函数
∵f(x+class="stub"1
2
)＜f(1-x)
∴
-1≤x+class="stub"1
2
≤1
-1≤1-x≤1
x+class="stub"1
2
＜1-x

∴0≤x＜class="stub"1
4
，
即不等式f(x+class="stub"1
2
)＜f(1-x)的解集为[0，class="stub"1
4
)．
（2）由于f（x）为增函数，∴f（x）的最大值为f（1）=1，
∴f（x）≤t2-2at+1对x∈[-1，1]，a∈[-1，1]恒成立，等价于t2-2at+1≥1对任意的a∈[-1，1]恒成立，
即t2-2at≥0对任意的a∈[-1，1]恒成立．
把y=t2-2at看作a的函数，由于a∈[-1，1]知其图象是一条线段．
∵t2-2at≥0对任意的a∈[-1，1]恒成立
∴
t2-2×(-1)×t≥0
t2-2×1×t≥0

∴
t2+2t≥0
t2-2t≥0

解得t≤-2或t=0或t≥2．

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