首页 > 若f（x）=x2-a(ln-1)(0＜x＜e)x2+a(lnx-1)(x≥e其中a∈R（1）当a=-2时，求函数y（x）在区间[e，e2]上的最大值；（2）当a＞0，时，若x∈[1，+∞），f(x)≥

若f（x）=x2-a(ln-1)(0＜x＜e)x2+a(lnx-1)(x≥e其中a∈R（1）当a=-2时，求函数y（x）在区间[e，e2]上的最大值；（2）当a＞0，时，若x∈[1，+∞），f(x)≥

题目简介

若f（x）=x2-a(ln-1)(0＜x＜e)x2+a(lnx-1)(x≥e其中a∈R（1）当a=-2时，求函数y（x）在区间[e，e2]上的最大值；（2）当a＞0，时，若x∈[1，+∞），f(x)≥

题目详情

若f（x）=
x2-a(ln-1)(0＜x＜e)
x2+a(lnx-1)(x≥e
其中a∈R
（1）当a=-2时，求函数y（x）在区间[e，e2]上的最大值；
（2）当a＞0，时，若x∈[1，+∞），f(x)≥
3
2
a恒成立，求a的取值范围．
题型：解答题难度：中档来源：肇庆一模

答案

（1）当a=-2，x∈[e，e2]时，f（x）=x2-2lnx+2，（1分）
∵f′(x)=2x-class="stub"2
x
，∴当x∈[e，e2]时，f'（x）＞0，（2分）
∴函数f（x）=x2-2lnx+2在[e，e2]上单调递增，（3分）
故f(x)max=f(e2)=(e2)2-2lne2+2=e4-2（4分）
（2）①当x≥e时，f（x）=x2+alnx-a，f′(x)=2x+class="stub"a
x
，
∵a＞0，∴f'（x）＞0，∴f（x）在[e，+∞）上单调递增，（5分）
故当x=e时，f(x)min=f(e)=e2；                            （6分）
②当1≤x≤e时，f（x）=x2-alnx+a，f′（x）=2x-class="stub"a
x
=class="stub"2
x
（x+
class="stub"a
2
）（x-
class="stub"a
2
），（7分）
（i）当
class="stub"a
2
≤1，即0＜a≤2时，f（x）在区间[1，e）上为增函数，
当x=1时，f（x）min=f（1）=1+a，且此时f（1）＜f（e）=e2；      （8分）
（ii）当1＜
class="stub"a
2
≤e，即2＜a≤2e2时，f（x）在区间(1，
class="stub"a
2
]上为减函数，在区间(
class="stub"a
2
，e]上为增函数，（9分）
故当x=
class="stub"a
2
时，f(x)min=f(
class="stub"a
2
)=class="stub"3a
2
-class="stub"a
2
lnclass="stub"a
2
，且此时f（
class="stub"a
2
）＜f（e）=e2；（10分）
（iii）当
class="stub"a
2
＞e，即a＞2e2时，f（x）=x2-alnx+a在区间[1，e]上为减函数，
故当x=e时，f(x)min=f(e)=e2．（11分）
综上所述，函数y=f（x）在[1，+∞）上的最小值为f(x)min=
1+a，0＜a≤2
class="stub"3a
2
-class="stub"a
2
lnclass="stub"a
2
，2＜a≤2e2
e2，a＞2e2
（12分）
由
0＜a≤2
1+a≥class="stub"3
2
a
得0＜a≤2；由
2＜a≤2e2
class="stub"3a
2
-class="stub"a
2
lnclass="stub"a
2
≥class="stub"3a
2
得无解；由
a＞2e2
e2≥class="stub"3a
2
得无解；  （13分）
故所求a的取值范围是（0，2]．                                     （14分）

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