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已知函数f（x）=x3+bx2+cx+d（b≠0）在x=0处的切线方程为2x-y-1=0；（1）求实数c，d的值；（2）若对任意x∈[1，2]，均存在t∈（0，1]，使得et-lnt-4≤f（x）-2

题目简介

已知函数f（x）=x3+bx2+cx+d（b≠0）在x=0处的切线方程为2x-y-1=0；（1）求实数c，d的值；（2）若对任意x∈[1，2]，均存在t∈（0，1]，使得et-lnt-4≤f（x）-2

题目详情

已知函数f（x）=x3+bx2+cx+d（b≠0）在x=0处的切线方程为2x-y-1=0；
（1）求实数c，d的值；
（2）若对任意x∈[1，2]，均存在t∈（0，1]，使得et-lnt-4≤f（x）-2x，试求实数b的取值范围．
题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

（1）∵函数f（x）=x3+bx2+cx+d（b≠0），
∴f′（x）=3x2+2bx+c，
∵f（x）在x=0处的切线方程为2x-y-1=0，
∴f′（0）=c=2，切点坐标为（0，-1），
∴f（0）=d=-1．
故c=2，d=-1．
（2）∵f（x）=x3+bx2+cx+d（b≠0），
对任意x∈[1，2]，均存在t∈（0，1]，使得et-lnt-4≤f（x）-2x，
∴对任意x∈[1，2]，均存在t∈（0，1]，使得et-lnt-4≤x3+bx2-1，
∴对任意x∈[1，2]，均存在t∈（0，1]，使得et-lnt≤x3+bx2+3，
令h（t）=et-lnt，t∈（0，1]，
h′（t）=e-class="stub"1
t
=class="stub"et-1
t
=0，t=class="stub"1
e
，
∵0＜t＜class="stub"1
e
时，h′（t）＜0；class="stub"1
e
＜t＜1时，h′（t）＞0．
∴h（t）的减区间是（0，class="stub"1
e
），增区间是（class="stub"1
e
，1）．
∴h（t）min=h（class="stub"1
e
）=e•class="stub"1
e
-lnclass="stub"1
e
=2．
∴原题转化为∀x∈[1，2]，x3+bx+3≥2恒成立．
∵b≥
-x3-1
x2
=-x-class="stub"1
x2
．
令g（x）=-x-class="stub"1
x2
，
g′（x）=-1+2x-3=0，得x=
32
，
当1＜x＜
32
时，g′（x）＞0；当
32
＜x＜2时，g′（x）＜0；
∴g（x）的减区间是（
32
，2），增区间是（1，
32
）．
∴g（x）max=g（
32
）=-
32
-class="stub"1
34
=
-3
32
2
，
∴b≥
-3
32
2
，且b≠0．
故实数b的取值范围是[
-3
32
2
，0）∪（0，+∞）．

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