已知函数f(x)=lnx﹣ax(a∈R).(1)当a=2时,求函数f(x)的单调区间;(2)当a>0时,求函数f(x)在[1,2]上最小值.-高二数学

题目简介

已知函数f(x)=lnx﹣ax(a∈R).(1)当a=2时,求函数f(x)的单调区间;(2)当a>0时,求函数f(x)在[1,2]上最小值.-高二数学

题目详情

已知函数f(x)=lnx﹣ax(a∈R).
(1)当a=2时,求函数f(x)的单调区间;
(2)当a>0时,求函数f(x)在[1,2]上最小值.
题型:解答题难度:中档来源:江苏省期末题

答案

解:(1)当a=2时,f(x)=lnx﹣ax,函数f(x)的定义域为(0,+∞),
求导函数可得f'(x)=﹣2①
由f'(x)>0,x>0,得0<x<
由f'(x)<0,x>0,得x>
故函数f(x)的单调递增区间为(0,),单调减区间是(,+∞).
(2)①当≤1,即a≥1时,函数f(x)在区间[1,2]上是减函数,
∴f(x)的最小值是f(2)=ln2﹣2a
②当2,即a≤时,函数f(x)在区间[1,2]上是增函数,
∴f(x)的最小值是f(1)=﹣a
③当1<2,即时,函数f(x)在[1,]上是增函数,在[,2]上是减函数.
又f(2)﹣f(1)=ln2﹣a,
∴当时,最小值是f(1)=﹣a;当ln2≤a<1时,最小值为f(2)=ln2﹣2a
综上可知,当0<a<ln2时,函数f(x)的最小值是﹣1;当a≥ln2时,函数f(x)的最小值是
ln2﹣2a.

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