已知向量p=(an,2n),q=(2n+1,-an+1),n∈N*,p与q垂直,且a1=1.(1)求数列{an}的通项公式;(2)若数列{bn}满足bn=log2an+1,求数列{an·bn}的前n项

题目简介

已知向量p=(an,2n),q=(2n+1,-an+1),n∈N*,p与q垂直,且a1=1.(1)求数列{an}的通项公式;(2)若数列{bn}满足bn=log2an+1,求数列{an·bn}的前n项

题目详情

已知向量p=(an,2n),q=(2n+1,-an+1),n∈N*pq垂直,且a1=1.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)若数列{bn}满足bn=log2an+1,求数列{an·bn}的前n项和Sn.
题型:解答题难度:中档来源:不详

答案

(1)2n-1(2)Sn=1+(n-1)2n
(1)∵向量pq垂直,
∴2nan+1-2n+1an=0,即2nan+1=2n+1an
=2,∴{an}是以1为首项,2为公比的等比数列,
an=2n-1.
(2)∵bn=log2an+1,∴bnn,∴an·bnn·2n-1,
Sn=1+2·2+3·22+4·23+…+n·2n-1,①
∴2Sn=1·2+2·22+3·23+4·24+…+n·2n,②
∴由①-②得,
Sn=1+2+22+23+24+…+2n-1-n·2nn·2n=(1-n)2n-1,
Sn=1+(n-1)2n.

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