设数列的前项和为,,.证明:数列是公比为的等比数列的充要条件是.-高二数学

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设数列的前项和为,,.证明:数列是公比为的等比数列的充要条件是.-高二数学

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设数列的前项和为.证明:数列是公比为的等比数列的充要条件是
题型:解答题难度:中档来源:不详

答案

证明见解析

试题分析:要解决这个问题,首先要分清楚必要性和充分性.
由数列的前项和为,数列是公比为的等比数列 
说明:“数列是公比为的等比数列”的必要条件是:“
由“数列的前项和“数列是等比数列”
说明“数列是公比为的等比数列”的充分条件是:“
前者其实就是等比数列前项和公式推导过程的一部分;后者由求出的表达式 ,再紧扣等比数列的定义得出结论.
试题解析:证明:(1)必要性:
∵数列是公比为的等比数列

      ①          2分
①式两边同乘,得
     ②           4分
①-②,得
                               6分

                                  7分
(2)充分性:
,得           8分

                               10分
也适合上式
                                       12分

∴当时,
∴数列是公比为的等比数列                    14分 与的关系.

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