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> 已知各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn,满足8Sn=a+4an+3(n∈N*),且a1,a2,a7依次是等比数列{bn}的前三项.(1)求数列{an}及{bn}的通项公式;(2)是否存在常数a
已知各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn,满足8Sn=a+4an+3(n∈N*),且a1,a2,a7依次是等比数列{bn}的前三项.(1)求数列{an}及{bn}的通项公式;(2)是否存在常数a
题目简介
已知各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn,满足8Sn=a+4an+3(n∈N*),且a1,a2,a7依次是等比数列{bn}的前三项.(1)求数列{an}及{bn}的通项公式;(2)是否存在常数a
题目详情
已知各项均为正数的数列{
a
n
}的前
n
项和为
S
n
,满足8
S
n
=
a
+4
a
n
+3(
n
∈N
*
),且
a
1
,
a
2
,
a
7
依次是等比数列{
b
n
}的前三项.
(1)求数列{
a
n
}及{
b
n
}的通项公式;
(2)是否存在常数
a
>0且
a
≠1,使得数列{
a
n
-log
a
b
n
}(
n
∈N
*
)是常数列?若存在,求出
a
的值;若不存在,说明理由.
题型:解答题
难度:中档
来源:不详
答案
(1)
an
=4
n
-3,
bn
=5
n
-1.(2)
(1)
n
=1时,8
a
1=
+4
a
1+3,
a
1=1或
a
1=3.(2分)
当
n
≥2时,8
Sn
-1=
+4
an
-1+3,
an
=
Sn
-
Sn
-1=
(
+4
an
-
-4
an
-1),
从而(
an
+
an
-1)(
an
-
an
-1-4)=0
因为{
an
}各项均为正数,所以
an
-
an
-1=4.(6分)
所以,当
a
1=1时,
an
=4
n
-3;当
a
1=3时,
an
=4
n
-1.
又因为当
a
1=1时,
a
1,
a
2,
a
7分别为1,5,25,构成等比数列,
所以
an
=4
n
-3,
bn
=5
n
-1.
当
a
1=3时,
a
1,
a
2,
a
7分别为3,7,27,不构成等比数列,舍去.(11分)
(2)假设存在
a
,理由如下:(12分)
由(1)知,
an
=4
n
-3,
bn
=5
n
-1,从而
an
-lon
abn
=4
n
-3-log
a
5
n
-1=4
n
-3-(
n
-1)·log
a
5=(4-log
a
5)
n
-3+log
a
5.
由题意,得4-log
a
5=0,所以
a
=
.(16分)
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已知等比数列{an}为递增数列,且
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数列的前n项和记为,,点在直线
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题目简介
已知各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn,满足8Sn=a+4an+3(n∈N*),且a1,a2,a7依次是等比数列{bn}的前三项.(1)求数列{an}及{bn}的通项公式;(2)是否存在常数a
题目详情
(1)求数列{an}及{bn}的通项公式;
(2)是否存在常数a>0且a≠1,使得数列{an-logabn}(n∈N*)是常数列?若存在,求出a的值;若不存在,说明理由.
答案
当n≥2时,8Sn-1=
an=Sn-Sn-1=
从而(an+an-1)(an-an-1-4)=0
因为{an}各项均为正数,所以an-an-1=4.(6分)
所以,当a1=1时,an=4n-3;当a1=3时,an=4n-1.
又因为当a1=1时,a1,a2,a7分别为1,5,25,构成等比数列,
所以an=4n-3,bn=5n-1.
当a1=3时,a1,a2,a7分别为3,7,27,不构成等比数列,舍去.(11分)
(2)假设存在a,理由如下:(12分)
由(1)知,an=4n-3,bn=5n-1,从而
an-lonabn=4n-3-loga5n-1=4n-3-(n-1)·loga5=(4-loga5)n-3+loga5.
由题意,得4-loga5=0,所以a=