已知数列{an}前n项和Sn满足an=2-2Sn.(I)求a1,a2;(II)求通项公式an;(III)求证数列{Sn-1}为等比数列.-数学

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已知数列{an}前n项和Sn满足an=2-2Sn.(I)求a1,a2;(II)求通项公式an;(III)求证数列{Sn-1}为等比数列.-数学

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已知数列{an}前n项和Sn满足an=2-2Sn
(I)求a1,a2
(II)求通项公式an
(III)求证数列{Sn-1}为等比数列.
题型:解答题难度:中档来源:不详

答案

(I) 在an=2-2Sn
取n=1,则a1=2-2S1=2-2a1∴a1=class="stub"2
3

取n=2,则a2=2-2S2=2-2(a1+a2)=2-2(class="stub"2
3
+a2)∴a2=class="stub"2
9
.(2分)
(II)∵当n≥2时,an=Sn-Sn-1
∴an-an-1=(2-2Sn)-(2-2Sn-1)=-2(Sn-Sn-1)=-2an
∴an=class="stub"1
3
an-1,n≥2   又a1=class="stub"2
3

∴an≠0,n∈N*
an
an-1
=class="stub"1
3

∴{an}为等比数列,且公比为class="stub"1
3

∴an=class="stub"2
3
×(class="stub"1
3
)n-1=class="stub"2
3n
,n∈N*.(4分)
(III)  当n≥2时,2-2Sn=an=Sn-Sn-1  即:3Sn=2+Sn-1
∴3(Sn-1)=Sn-1-1  又S1-1=a1-1=-class="stub"1
3
≠0
∴Sn-1≠0,n∈N*
Sn-1
Sn-1-1
=class="stub"1
3
为常数
∴数列{Sn-1}为等比数列.(7分)

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