函数f(x)=-3loga(x-2)+2(a>0且a≠1)的图象经过点A,若点A在直线mx+ny-4=0上,其中mn>0,则2m+3n的最小值为______.-数学

题目简介

函数f(x)=-3loga(x-2)+2(a>0且a≠1)的图象经过点A,若点A在直线mx+ny-4=0上,其中mn>0,则2m+3n的最小值为______.-数学

题目详情

函数f(x)=-3loga(x-2)+2(a>0且a≠1)的图象经过点A,若点A在直线mx+ny-4=0上,其中mn>0,则
2
m
+
3
n
的最小值为______.
题型:填空题难度:中档来源:不详

答案

因为函数f(x)=-3loga(x-2)+2(a>0且a≠1)的图象经过点A,
所以当x=3时,f(3)=2,即A(3,2).
又点A在直线mx+ny-4=0,所以3m+2n=4,即class="stub"3m
4
+class="stub"n
2
=1

所以class="stub"2
m
+class="stub"3
n
=(class="stub"2
m
+class="stub"3
n
(class="stub"3m
4
+class="stub"n
2
)
=class="stub"3
2
+class="stub"3
2
+(class="stub"9m
4n
+class="stub"n
m
)≥3+2
class="stub"9m
4n
⋅class="stub"n
m
=3+2×class="stub"3
2
=6

当且仅当class="stub"9m
4n
=class="stub"n
m
,即4n2=9m2时取等号,所以class="stub"2
m
+class="stub"3
n
的最小值是6.
故答案为:6.

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