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已知a，b，c均为正数，证明：a2+b2+c2+(1a+1b+1c)2≥63，并确定a，b，c为何值时，等号成立．-数学

题目简介

已知a，b，c均为正数，证明：a2+b2+c2+(1a+1b+1c)2≥63，并确定a，b，c为何值时，等号成立．-数学

题目详情

已知a，b，c均为正数，证明：a2+b2+c2+(
1
a
+
1
b
+
1
c
)2≥6
3
，并确定a，b，c为何值时，等号成立．
题型：解答题难度：中档来源：辽宁

答案

证明：
（证法一）
因为a，b，c均为正数，由平均值不等式得
a2+b2+c2≥3(abc)class="stub"2
3
class="stub"1
a
+class="stub"1
b
+class="stub"1
c
≥3(abc)-class="stub"1
3
①
所以(class="stub"1
a
+class="stub"1
b
+class="stub"1
c
)2≥9(abc)-class="stub"2
3
②（6分）
故a2+b2+c2+(class="stub"1
a
+class="stub"1
b
+class="stub"1
c
)2≥3(abc)class="stub"2
3
+9(abc)-class="stub"2
3
．
又3(abc)class="stub"2
3
+9(abc)-class="stub"2
3
≥2
27
=6
3
③
所以原不等式成立．（8分）
当且仅当a=b=c时，①式和②式等号成立．当且仅当3(abc)class="stub"2
3
=9(abc)-class="stub"2
3
时，③式等号成立．
即当且仅当a=b=c=3class="stub"1
4
时，原式等号成立．（10分）
（证法二）
因为a，b，c均为正数，由基本不等式得
a2+b2≥2ab
b2+c2≥2bc
c2+a2≥2ac

所以a2+b2+c2≥ab+bc+ac①
同理class="stub"1
a2
+class="stub"1
b2
+class="stub"1
c2
≥class="stub"1
ab
+class="stub"1
bc
+class="stub"1
ac
②（6分）
故a2+b2+c2+(class="stub"1
a
+class="stub"1
b
+class="stub"1
c
)2③
≥ab+bc+ac+3class="stub"1
ab
+3class="stub"1
bc
+3class="stub"1
ac

≥6
3
所以原不等式成立．（8分）
当且仅当a=b=c时，①式和②式等号成立，当且仅当a=b=c，（ab）2=（bc）2=（ac）2=3时，③式等号成立．
即当且仅当a=b=c=3class="stub"1
4
时，原式等号成立．（10分）

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