已知a,b,c均为正数,证明:a2+b2+c2+(1a+1b+1c)2≥63,并确定a,b,c为何值时,等号成立.-数学

题目简介

已知a,b,c均为正数,证明:a2+b2+c2+(1a+1b+1c)2≥63,并确定a,b,c为何值时,等号成立.-数学

题目详情

已知a,b,c均为正数,证明:a2+b2+c2+(
1
a
+
1
b
+
1
c
)2
≥6
3
,并确定a,b,c为何值时,等号成立.
题型:解答题难度:中档来源:辽宁

答案

证明:
(证法一)
因为a,b,c均为正数,由平均值不等式得
a2+b2+c2≥3(abc)class="stub"2
3
class="stub"1
a
+class="stub"1
b
+class="stub"1
c
≥3(abc)-class="stub"1
3

所以(class="stub"1
a
+class="stub"1
b
+class="stub"1
c
)2≥9(abc)-class="stub"2
3
②(6分)
a2+b2+c2+(class="stub"1
a
+class="stub"1
b
+class="stub"1
c
)2≥3(abc)class="stub"2
3
+9(abc)-class="stub"2
3

3(abc)class="stub"2
3
+9(abc)-class="stub"2
3
≥2
27
=6
3

所以原不等式成立.(8分)
当且仅当a=b=c时,①式和②式等号成立.当且仅当3(abc)class="stub"2
3
=9(abc)-class="stub"2
3
时,③式等号成立.
即当且仅当a=b=c=3class="stub"1
4
时,原式等号成立.(10分)
(证法二)
因为a,b,c均为正数,由基本不等式得
a2+b2≥2ab
b2+c2≥2bc
c2+a2≥2ac

所以a2+b2+c2≥ab+bc+ac①
同理class="stub"1
a2
+class="stub"1
b2
+class="stub"1
c2
≥class="stub"1
ab
+class="stub"1
bc
+class="stub"1
ac
②(6分)
a2+b2+c2+(class="stub"1
a
+class="stub"1
b
+class="stub"1
c
)2

≥ab+bc+ac+3class="stub"1
ab
+3class="stub"1
bc
+3class="stub"1
ac

≥6
3
所以原不等式成立.(8分)
当且仅当a=b=c时,①式和②式等号成立,当且仅当a=b=c,(ab)2=(bc)2=(ac)2=3时,③式等号成立.
即当且仅当a=b=c=3class="stub"1
4
时,原式等号成立.(10分)

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