已知函数(1)若对于任意的x∈R,f(x)>0恒成立,求实数k的取值范围;(2)若f(x)的最小值为﹣3,求实数k的取值范围;(3)若对于任意的x1、x2、x3,均存在以f(x1)、f(x2)、f(x
解:(1)设t=2x,则y=(t>0),∵y>0恒成立,∴t>0时,t2+kt+1>0恒成立,即t>0时,k>﹣(t+)恒成立,∵t>0时,t+≥2,∴﹣(t+)≤﹣2,当t=,即t=1时,﹣(t+)有最大值为﹣2,∴k>﹣2;(2)f(x)==1+,令t=2x++1≥3,则y=1+(t≥3),当k﹣1>0,即k>1时,y∈(1,],无最小值,舍去;当k﹣1=0,即k=1时,y∈{1},最小值不是﹣3,舍去;当k﹣1<0,即k<1时,y∈[,1),最小值为=﹣3得k=﹣11;综上k=﹣11.(3)因对任意实数x1、x2、x3,都存在以f(x1)、f(x2)、f(x3)为三边长的三角形,故f(x1)+f(x2)>f(x3)对任意的x1、x2、x3∈R恒成立.当k>1时,∵2<f(x1)+f(x2)≤且1<f(x3)≤,故≤2,∴1<k≤4;当k=1时,∵f(x1)=f(x2)=f(x3)=1,满足条件;当k<1时,∵≤f(x1)+f(x2)<2,且≤f(x3)<1,故≥1,∴﹣≤k<1;综上所述:﹣≤k≤4.
题目简介
已知函数(1)若对于任意的x∈R,f(x)>0恒成立,求实数k的取值范围;(2)若f(x)的最小值为﹣3,求实数k的取值范围;(3)若对于任意的x1、x2、x3,均存在以f(x1)、f(x2)、f(x
题目详情
(1)若对于任意的x∈R,f(x)>0恒成立,求实数k的取值范围;
(2)若f(x)的最小值为﹣3,求实数k的取值范围;
(3)若对于任意的x1、x2、x3,均存在以f(x1)、f(x2)、f(x3)为三边长的三角形,求实数k 的取值范围.
答案
解:(1)设t=2x,则y=
(t>0),
)恒成立,
≥2,
)≤﹣2,
,即t=1时,﹣(t+
)有最大值为﹣2,
=1+
,
+1≥3,则y=1+
(t≥3),
],无最小值,舍去;
,1),最小值为
=﹣3得k=﹣11;
且1<f(x3)≤
,
≤2,
≤f(x1)+f(x2)<2,且
≤f(x3)<1,
≥1,
≤k<1;
≤k≤4.
∵y>0恒成立,
∴t>0时,t2+kt+1>0恒成立,即t>0时,k>﹣(t+
∵t>0时,t+
∴﹣(t+
当t=
∴k>﹣2;
(2)f(x)=
令t=2x+
当k﹣1>0,即k>1时,y∈(1,
当k﹣1=0,即k=1时,y∈{1},最小值不是﹣3,舍去;
当k﹣1<0,即k<1时,y∈[
综上k=﹣11.
(3)因对任意实数x1、x2、x3,都存在以f(x1)、f(x2)、f(x3)为三边长的三角形,
故f(x1)+f(x2)>f(x3)
对任意的x1、x2、x3∈R恒成立.
当k>1时,
∵2<f(x1)+f(x2)≤
故
∴1<k≤4;
当k=1时,
∵f(x1)=f(x2)=f(x3)=1,满足条件;
当k<1时,
∵
故
∴﹣
综上所述:﹣