在△ABC中角A,B,C所对的边长分别为a,b,c,且sinAcosC+12sinC=sinB.(Ⅰ)求角A的大小;(Ⅱ)若a=2,求△ABC周长的最大值及相应的b,c值.-数学

题目简介

在△ABC中角A,B,C所对的边长分别为a,b,c,且sinAcosC+12sinC=sinB.(Ⅰ)求角A的大小;(Ⅱ)若a=2,求△ABC周长的最大值及相应的b,c值.-数学

题目详情

在△ABC中角A,B,C所对的边长分别为a,b,c,且sinAcosC+
1
2
sinC=sinB

(Ⅰ)求角A的大小;
 (Ⅱ)若a=2,求△ABC周长的最大值及相应的b,c值.
题型:解答题难度:中档来源:不详

答案

(Ⅰ)∵sinAcosC+class="stub"1
2
sinC=sinB

由正弦定理及余弦定理得
a2+b2-c2
2ab
+class="stub"1
2
c=b

∴a2=b2+c2-bc
由余弦定理得cosA=
b2+c2-a2
2bc
=class="stub"1
2

∵A∈(0,π),
A=class="stub"π
3

另∵sinAcosC+class="stub"1
2
sinC=sinB

sinAcosC+class="stub"1
2
sinC=sinAcosC+cosAsinC

∵A∈(0,π),
∴sinC≠0,
从而cosA=class="stub"1
2

∵A∈(0,π),
A=class="stub"π
3

(Ⅱ) 由已知及(Ⅰ)知得  
4=a2=b2+c2-bc=(b+c)2-3bc
4≥(b+c)2-class="stub"3
4
(b+c)2=class="stub"1
4
(b+c)2

∴b+c≤4,当且仅当b=c=2时取“=”.
∴当b=c=2时,△ABC周长的最大值为6

更多内容推荐