首页 > （1）已知a，b，x，y是正实数，求证：a2x+b2y≥(a+b)2x+y，当且仅当ax=by时等号成立；（2）求函数f(x)=13-tan2x+98+sec2x的最小值，并指出取最小值时x的值．-数

（1）已知a，b，x，y是正实数，求证：a2x+b2y≥(a+b)2x+y，当且仅当ax=by时等号成立；（2）求函数f(x)=13-tan2x+98+sec2x的最小值，并指出取最小值时x的值．-数

题目简介

（1）已知a，b，x，y是正实数，求证：a2x+b2y≥(a+b)2x+y，当且仅当ax=by时等号成立；（2）求函数f(x)=13-tan2x+98+sec2x的最小值，并指出取最小值时x的值．-数

题目详情

（1）已知a，b，x，y是正实数，求证：
a2
x
+
b2
y
≥
(a+b)2
x+y
，当且仅当
a
x
=
b
y
时等号成立；
（2）求函数f(x)=
1
3-tan2x
+
9
8+sec2x
的最小值，并指出取最小值时x的值．
题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

（1）应用二元均值不等式，得 (
a2
x
+
b2
y
)(x+y)=a2+b2+a2class="stub"y
x
+b2class="stub"x
y
≥a2+b2+2
a2class="stub"y
x
b2class="stub"x
y
=（a+b）2，
故
a2
x
+
b2
y
≥
(a+b)2
x+y
．
当且仅当 a2class="stub"y
x
=b2class="stub"x
y
，即 class="stub"a
x
=class="stub"b
y
时上式取等号．
（2）由（1）f(x)=
1 2
3-tan2x
+
3 2
8+sec2x
≥
(1+3) 2
11+1
=class="stub"4
3
．
当且仅当 class="stub"1
3-tan2x
=class="stub"3
8+sec2x
，即 x=kπ，k∈Z时上式取最小值，即[f（x）]min=class="stub"4
3
．

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