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> 已知函数f(x)=(13)x,等比数列{an}的前n项和为f(n)-c,正项数列{bn}的首项为c,且前n项和Sn满足Sn-Sn-1=Sn+Sn-1(n≥2).(1)求数列{an}的通项公式;(2)证
已知函数f(x)=(13)x,等比数列{an}的前n项和为f(n)-c,正项数列{bn}的首项为c,且前n项和Sn满足Sn-Sn-1=Sn+Sn-1(n≥2).(1)求数列{an}的通项公式;(2)证
题目简介
已知函数f(x)=(13)x,等比数列{an}的前n项和为f(n)-c,正项数列{bn}的首项为c,且前n项和Sn满足Sn-Sn-1=Sn+Sn-1(n≥2).(1)求数列{an}的通项公式;(2)证
题目详情
已知函数
f(x)=(
1
3
)
x
,等比数列{a
n
}的前n项和为f(n)-c,正项数列{b
n
}的首项为c,且前n项和S
n
满足S
n
-S
n-1
=
S
n
+
S
n-1
(n≥2).
(1)求数列{a
n
}的通项公式;
(2)证明数列{
S
n
}是等差数列,并求S
n
;
(3)若数列{
1
b
n
b
n+1
}前n项和为T
n
,问
T
n
>
1000
2009
的最小正整数n是多少?
(4)设
c
n
=
2
b
n
a
n
,求数列{c
n
}的前n项和P
n
.
题型:解答题
难度:中档
来源:不详
答案
(1)因为
a
1
=f(1)-c=
class="stub"1
3
-c
,
a
2
=[f(2)-c]-[f(1)-c]=-
class="stub"2
9
,
a
3
=[f(3)-c]-[f(2)-c]=-
class="stub"2
27
.
又数列{an}成等比数列,
所以
a
1
=
a
2
2
a
3
=
class="stub"4
81
-
class="stub"2
27
=-
class="stub"2
3
=
class="stub"1
3
-c
,
解得c=1.…(2分)
又公比q=
a
2
a
1
=
class="stub"1
3
,
所以
a
n
=-
class="stub"2
3
•(
class="stub"1
3
)
n-1
=-2•(
class="stub"1
3
)n-1,n∈N*.…(3分)
(2)∵
S
n
-
S
n-1
=
S
n
+
S
n-1
,n≥2,
即
(
S
n
-
S
n-1
)(
S
n
+
S
n-1
)=
S
n
+
S
n-1
,n≥2
∴
S
n
-
S
n-1
=1
,(n≥2)…(5分)
又
S
1
=
b
1
=
c
=1
∴数列{
S
n
}构成一个首项为1,公差为1的等差数列,
∴
S
n
=1+(n-1)×1=n,∴
S
n
=
n
2
.…(6分)
(3)由(2)得
S
n
=
n
2
,
当n≥2时,bn=Sn-Sn-1=n2-(n-1)2=2n-1,(*)
又b1=S1=1,适合(*)式
∴bn=2n-1,(n∈N*)…(8分)
∵
class="stub"1
b
n
b
n+1
=
class="stub"1
(2n-1)(2n+1)
=
class="stub"1
2
(
class="stub"1
2n-1
-
class="stub"1
2n+1
)
,
∴
T
n
=
class="stub"1
b
1
b
2
+
class="stub"1
b
2
b
3
+
class="stub"1
b
3
b
4
+…+
class="stub"1
b
n
b
n+1
=
class="stub"1
2
(1-
class="stub"1
3
)+
class="stub"1
2
(
class="stub"1
3
-
class="stub"1
5
)+
class="stub"1
2
(
class="stub"1
5
-
class="stub"1
7
)+…+
class="stub"1
2
(
class="stub"1
2n-1
-
class="stub"1
2n+1
)
=
class="stub"1
2
(1-
class="stub"1
2n-1
)=
class="stub"n
2n+1
,…(10分)
由Tn=
class="stub"n
2n+1
>
class="stub"1000
2009
,得n>
class="stub"1000
9
,
故满足
T
n
>
class="stub"1000
2009
的最小正整数为112.…(11分)
(4)
c
n
=
2
b
n
a
n
=(1-2n)•
3
n
.…(12分)
∴
P
n
=(-1)×3+(-3)×
3
2
+(-5)×
3
3
+…+(1-2n)×
3
n
①
3
P
n
=(-1)×
3
2
+(-3)×
3
3
+(-5)×
3
4
+…+(3-2n)×
3
n
+(1-2n)×
3
n+1
②
②-①得
2
P
n
=3+2×
3
2
+2×
3
3
+…+2×
3
n
+(1-2n)×
3
n+1
=3+2×
3
2
(1-
3
n-1
)
1-3
+(1-2n)×
3
n+1
=(2-2n)•
3
n+1
-6.
∴
P
n
=(1-n)•
3
n+1
-3
.…(14分)
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从集合{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}中任选三个
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在等差数列中,,。(1)求数列的通
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题目简介
已知函数f(x)=(13)x,等比数列{an}的前n项和为f(n)-c,正项数列{bn}的首项为c,且前n项和Sn满足Sn-Sn-1=Sn+Sn-1(n≥2).(1)求数列{an}的通项公式;(2)证
题目详情
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)证明数列{
(3)若数列{
(4)设cn=
答案
a2=[f(2)-c]-[f(1)-c]=-
a3=[f(3)-c]-[f(2)-c]=-
又数列{an}成等比数列,
所以a1=
解得c=1.…(2分)
又公比q=
所以an=-
(2)∵Sn-Sn-1=
即(
∴
又
∴数列{
∴
(3)由(2)得Sn=n2,
当n≥2时,bn=Sn-Sn-1=n2-(n-1)2=2n-1,(*)
又b1=S1=1,适合(*)式
∴bn=2n-1,(n∈N*)…(8分)
∵
∴Tn=
=
=
由Tn=
故满足Tn>
(4)cn=
∴Pn=(-1)×3+(-3)×32+(-5)×33+…+(1-2n)×3n①3Pn=(-1)×32+(-3)×33+(-5)×34+…+(3-2n)×3n+(1-2n)×3n+1②
②-①得2Pn=3+2×32+2×33+…+2×3n+(1-2n)×3n+1
∴Pn=(1-n)•3n+1-3.…(14分)