首页 > 设数列{an}是等比数列，a1=C2m+33m•Am-21，公比q是(x+14x2)4的展开式中的第二项（按x的降幂排列）．（1）用n，x表示通项an与前n项和Sn；（2）若An=Cn1S1+Cn2S

设数列{an}是等比数列，a1=C2m+33m•Am-21，公比q是(x+14x2)4的展开式中的第二项（按x的降幂排列）．（1）用n，x表示通项an与前n项和Sn；（2）若An=Cn1S1+Cn2S

题目简介

设数列{an}是等比数列，a1=C2m+33m•Am-21，公比q是(x+14x2)4的展开式中的第二项（按x的降幂排列）．（1）用n，x表示通项an与前n项和Sn；（2）若An=Cn1S1+Cn2S

题目详情

设数列{an}是等比数列，a1=C2m+33m•Am-21，公比q是(x+
1
4x2
)4的展开式中的第二项（按x的降幂排列）．
（1）用n，x表示通项an与前n项和Sn；
（2）若An=Cn1S1+Cn2S2+…+CnnSn，用n，x表示An．
题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

（1）∵a1=C2m+33m•Am-21∴
2m+3≥3m
m-2≥1
∴m=3，…（2分）
由(x+class="stub"1
4x2
)4的展开式中的同项公式知T2=
C14
x4-1(class="stub"1
4x2
)=x，

∴an=xn-1
∴由等比数列的求和公式得：Sn=
n，x=1
1-xn
1-x
，x≠1
…（4分）
（2）当x=1时，Sn=n，
所以：An=Cn1+2Cn2+3Cn3+…+nCnn=0Cn0+1Cn1+2Cn2+3Cn3+…+nCnn，
又∵An=nCnn+（n-1）Cnn-1+（n-2）Cnn-2+…+Cn1+0Cn0，
∴上两式相加得：2An=n（Cn0+Cn1+Cn2+…+Cnn）=n•2n，
∴An=n•2n-1，
当x≠1时，Sn=
1-xn
1-x
，
所以有：
An=class="stub"1-x
1-x
Cn1
+
1-x2
1-x
Cn2
+…+
1-xn
1-x
Cnn

=class="stub"1
1-x
[(
C1n
+
C2n
+…+
Cnn
)-(x
C1n
+x2
C2n
+…+xn
Cnn
)]

=class="stub"1
1-x
[2n-(1+x)n]，

∴An=
n•2n-1，x=1
2n-(1+x)n
1-x
，x≠1
…（10分）

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